mellady
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Urgent pour demain !! aidez moi svp 

u et v désignent deux réels de [0;+∞[ 

a) Quel est le signe de chacun des réels u et v ? 
b) Vérifier que f(u) - f(v) = (u-v) (u=v=1)
c) Déduire de a) le signe de u + v + 1 
d) On suppose que u ≤ v Que peut on dire alors du signe de f(u)-f(v) 
e) Conclure pour le sens de variation de f 

Sagot :

Bonsoir,

a) u ≥ 0 et v ≥ 0.

b) f(u) - f(v) = (u² + u) - (v² + v)
                = u² + u - v² - v
                = u² - v² + u - v
                = (u² - v²) + (u - v)
                = (u - v)(u + v) + (u - v) * 1
                =(u - v)[(u + v) + 1]
                =(u - v)(u + v + 1) 

c) u ≥ 0 et v ≥ 0  ===>  u + v + 1 > 0

d) On sait que f(u) - f(v) = (u - v)(u + v + 1)  et que u + v + 1 > 0
Donc le signe de f(u) - f(v) est le même que celui de (u - v).

Or u ≤ v  ===>  u - v ≤ 0

Donc f(u) - f(v) ≤ 0

e) La fonction f est bien croissante sur [0;+∞[ car 

Si u et v désignent deux réels quelconques de [0;+∞[ et u ≤ v, alors f(u) - f(v) ≤ 0.

ou encore,

Si u et v désignent deux réels quelconques de [0;+∞[ et u ≤ v, alors f(u) ≤ f(v)

C'est la définition même de la croissance de f sur [0;+∞[.
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