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Exercice 5 : (probabilités conditionnelles et suites)

Pour analyser le fonctionnement d’une machine d’atelier, on note, mois après mois, ses pannes et on remarque que :

• Sur un mois, la machine tombe au plus une fois en panne ;
• Si pendant le mois « n » la machine n’a pas de panne, la probabilité qu’elle en ait une le mois suivant « n+1 » est 0,24 ;
• Si la machine tombe en panne le mois « n "(ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu’elle tombe en panne le mois suivant « n+1 » est 0,04 ;
• La probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1 .

On désigne par En l’événement : « La machine tombe en panne le n-ième mois suivant sa mise en service » ; on note pn la probabilité de En (et on a ainsi p1 = 0,1 ). Fn est son évenement contraire

1) a) Donner les valeurs numériques des probabilités de « En+1 sachant En » et de « En+1 sachant Fn » .

Exprimer alors les probabilités de « En+1 et En » et de « En+1 et Fn » en fonction de pn .

2) montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, on a : pn+1 = 0,24 - 0,2pn

3) a) Résoudre l’équation p = 0,24 – 0,2p .

b) Pour tout entier naturel n non nul,on pose un = pn – p .

Calculer un+1 en fonction de un. En déduire les expressions en fonction de n de un et de pn

c) Donner la limite de (pn) .

Sagot :

E est une suite tel que
E(1) = 0.1
E(n+1) = E(n)*0.24 + (1-(E(n)*0.04))
Si E tend vers une limite, celle-ci est la solution à l'équation E(n+1) = E(n) pour n très grand.
x = 0.24x+0.04*(1-x) = 0.2x+0.04
0.8x = 0.04; x = 0.05.
La probabilité que la machine tombe en panne deux mois de suite est 0.05² = 0.0025 (1/400).
La probabilité qu'elle tombe en panne après un mois sans panne est 0.95*0.05 = 0.0475.
(En + 1sachant que En)= 0.04
P(En + 1 sachant que Enbarre)= 0.24


utiliser la 1ere question pour montrer que pour tout entier naturel n 1
, on a p(n+1)= 0,24-0,2p

p(1)=0.1

Appliquer la formule de probabilité totale
p(n+1) = P(En+1) sachant Enbarre)(1-p(n)) +  P(En+1) sachant En) p(n)
       = 0.24 (1-p(n)) + 0.04 p(n)
       = 0.24 - 0.24 p(n) + 0.04 p(n)
       = 0.24 - 0.2 p(n)  
            p = 0.24/1.2 = 0.2 (ok)

U(n+1)  = -0.2 Un, (Un) est une suite géométrique de raison (-0.2) et de premier terme   u1 = -0.1     
U(n+1) = P(n+1) - P

Tu sais que
* P(n+1) =0.24 - 0.2 * Pn
* p = 0.24- 0.2p

Donc U(n+1) = ?
U(n+1) = 0.24 -0.2p(n) - 0.24 + 0.2p
        = -0.2p(n) + 0.2p

or que vaut Un ?

U(n+1) = 0.24 -0.2p(n) - 0.24 + 0.2p
       = -0.2p(n) + 0.2p
       = -0.2 ( p(n) - p)
       Fais u(n) en fonction de n,= -0.2  Un

Un = (-0.2)PUISSANCE n-1 * U1
U1= -0.1
Un = (-0.2)puiss n-1 * (-0.1)

u(n) = p(n) - p

Donc


p(n) = u(n) + p = (-0,1). (-0,2)^(n-1) + 0,2


La suite (un) tend vers 0





            












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