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Sagot :
Bonjour,
1) y ' = y ==> [tex]y(x)=ke^x[/tex]
2) g est solution de (E) <==> (asinx+bcosx)' - (asinx+bcosx) = 2sinx
<==> acosx - bsinx - asinx - bcosx = 2sinx
<==> (a-b)cosx - (a+b)sinx = 2sinx
<==> a-b = 0 et -a-b = 2
<==> a = -1 et b = -1
g(x) = -cosx - sinx
3) f est solution de (E) <==> f ' - f = 2sinx
<==> f' - f = g' - g
<==>(f-g)' - (f-g)=0
<==> (f-g) est solution de (E')
4) f est solution de (E) <==> f-g est solution de (E')
<==> [tex]f(x) - g(x)= ke^x[/tex]
<==> [tex]f(x) = ke^x - cosx - sinx[/tex]
[tex]f(\pi) = 0\\\\ke^\pi - cos\pi - sin\pi=0\\\\ke^\pi+1=0\\\\k=\dfrac{-1}{e^\pi}\\\\k=-e^{-\pi}[/tex]
d'où [tex]f(x)=-e^{-\pi}e^x-cosx-sinx[/tex]
[tex]f(x)=-e^{x-\pi}-cosx-sinx[/tex]
************************
[tex]f(x)+e^{x-\pi}=0\\\\-e^{x-\pi}-cosx-sinx+e^{x-\pi}=0\\\\-cosx-sinx=0\\\\sinx=-cosx\\\\\dfrac{sinx}{cosx}=-1\\\\tanx=-1\\\\x=\dfrac{-\pi}{4}+k\pi \ \ (k\in Z)[/tex]
1) y ' = y ==> [tex]y(x)=ke^x[/tex]
2) g est solution de (E) <==> (asinx+bcosx)' - (asinx+bcosx) = 2sinx
<==> acosx - bsinx - asinx - bcosx = 2sinx
<==> (a-b)cosx - (a+b)sinx = 2sinx
<==> a-b = 0 et -a-b = 2
<==> a = -1 et b = -1
g(x) = -cosx - sinx
3) f est solution de (E) <==> f ' - f = 2sinx
<==> f' - f = g' - g
<==>(f-g)' - (f-g)=0
<==> (f-g) est solution de (E')
4) f est solution de (E) <==> f-g est solution de (E')
<==> [tex]f(x) - g(x)= ke^x[/tex]
<==> [tex]f(x) = ke^x - cosx - sinx[/tex]
[tex]f(\pi) = 0\\\\ke^\pi - cos\pi - sin\pi=0\\\\ke^\pi+1=0\\\\k=\dfrac{-1}{e^\pi}\\\\k=-e^{-\pi}[/tex]
d'où [tex]f(x)=-e^{-\pi}e^x-cosx-sinx[/tex]
[tex]f(x)=-e^{x-\pi}-cosx-sinx[/tex]
************************
[tex]f(x)+e^{x-\pi}=0\\\\-e^{x-\pi}-cosx-sinx+e^{x-\pi}=0\\\\-cosx-sinx=0\\\\sinx=-cosx\\\\\dfrac{sinx}{cosx}=-1\\\\tanx=-1\\\\x=\dfrac{-\pi}{4}+k\pi \ \ (k\in Z)[/tex]
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