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Salut!! pouvez vous m'aider j'ai des démonstration à faire pour demain et je bloque sur celle la:
si a est congrus à b modulo m alors a puissance n est congrus à b puissance n  modulo m
merci d'avance

Sagot :

Bonjour

Si a ≡ b [m], alors a^n ≡ b^n [m]

On peut le démontrer par récurrence sur n.

a) Initialisation : Si n = 1, la propriété (Si a ≡ b [m], alors a^1 ≡ b^1 [m]) est évidemment vraie.

b) Hérédité : Supposons que pour k ≥ 0, a^k ≡ b^k [m],
                   alors démontrons que a^(k+1) ≡ b^(k+1) [m]

En effet, en utilisant la compatibilité de la multiplication pour la congruence modulo m, nous avons : 

a^k ≡ b^k [m] ==> a^k * a ≡ b^k * b [m]
                    ==> a^(k+1) ≡ b^(k+1) [m]

Rem. : la compatibilité de la multiplication pour la congruence modulo m signifie que si a ≡ b [m] et c ≡ d [m], alors a * c ≡ b * d [m].
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