Bonsoir,
1) Accroissement pendant la 1ère année : [tex]P_1-P_0=60000-40000=20000[/tex]
Accroissement pendant la 2ème année :
[tex]P_2-P_1=\dfrac{1}{2}(P_1-P_0)=\dfrac{1}{2}\times 20000 = 10000[/tex]
Accroissement pendant la 3ème année :
[tex]P_3-P_2=\dfrac{1}{2}(P_2-P_1)=\dfrac{1}{2}\times 10000 = 5000[/tex]
[tex]\dfrac{1}{2}(P_2-P_1)= 5000\Longrightarrow P_2-P_1=10000\\\\\Longrightarrow P_2=10000+P_1\\\Longrightarrow P_2=10000+60000\\\Longrightarrow P_2=70000[/tex]
[tex]P_3-P_2= 5000\Longrightarrow P_3=5000+P_2\\\Longrightarrow P_3=5000+70000\\\Longrightarrow P_3=75000[/tex]
2) A)
[tex]U_{n+1}=P_{n+2}-P_{n+1}\\\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2}(P_{n+1}-P_{n})\\\\U_{n+1}=\dfrac{1}{2}U_n[/tex]
La suite (Un) est géométrique de raison [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] et de premier terme égal à [tex]U_0=P_1-P_0=20000[/tex]
B) [tex]U_n=U_0\times(\dfrac{1}{2})^n\Longrightarrow U_n=20000(\dfrac{1}{2})^n[/tex]
C) [tex]V_{n+}-V_n=[P_{n+2}-\dfrac{1}{2}P_{n+1}]-[P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_{n}][/tex]
[tex]V_{n+}-V_n=[P_{n+2}-P_{n+1}]-\dfrac{1}{2}P_{n+1}+\dfrac{1}{2}P_{n}\\\\V_{n+}-V_n=\dfrac{1}{2}(P_{n+1}-P_{n})-\dfrac{1}{2}P_{n+1}+\dfrac{1}{2}P_{n}\\\\V_{n+}-V_n=\dfrac{1}{2}P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_{n}-\dfrac{1}{2}P_{n+1}+\dfrac{1}{2}P_{n}\\\\V_{n+}-V_n=0[/tex]
La suite (Vn) est donc constante.
D'où,
[tex]V_n=V_0\\\\V_n=P_1-\dfrac{1}{2}P_0\\\\V_n=60000-\dfrac{1}{2}\times 40000\\\\V_n=40000[/tex]
D) [tex]2(V_n-U_n)=2[(P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_n)-(P_{n+1}-P_n)][/tex]
[tex]2(V_n-U_n)=2[P_{n+1}-\dfrac{1}{2}P_n-P_{n+1}+P_n]\\\\2(V_n-U_n)=2\times \dfrac{1}{2}P_n\\\\2(V_n-U_n)=P_n[/tex]
[tex]P_n=2[40000-20000\times(\dfrac{1}{2})^n][/tex]
Sachant que [tex]\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{2})^n=0[/tex], on en déduit que
[tex]\lim_{n\to +\infty}P_n=2(40000-0)\\\\\lim_{n\to +\infty}P_n=80000.[/tex]
Par conséquent la population de grenouilles se stabilisera vers 80000 grenouilles.
