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J'ai un exercice qui me pose problème et c'est pour lundi aider moi SVP !!!
Soit f une fonction définie sur N et ne prenant que des valeurs positives ou nulles.
De plus, on sait que :
-pour tout a et b dans N :
  f(a x b) = f(a) + f(b) ;
-si l'entier n a 3 pour chiffre des unités, alors f(n)= 0
-f(10)=0
Déterminer f(2011), f(2012),f(2013) f(2014)

grace a l'énoncer je sais que f(2013)=0 mais pour le reste je séche j'ai besoin merci d'avance


Sagot :

maudmarine
f (2013) = f (1 x 2013) = f (1) + f (2013) = f (1) + 0 = 0
Donc f (1) = 0

L'énoncé dit f (2013) = 0

2011 = nombre premier
2012 = 503 x 4
2013 = 3 x 11 x 61
2014 = 2 x 19 x 53

Puis :

f (1) = 0
f (2) + f (5) = f (10) = 0 (d'après l'énoncé),
Donc f (5) = - f (2)
f (3) = 0 (le chiffre des unités est 3)
f (4) = f (2 x 2) = f (2) + f (2) = 2 f (2)
et aussi

f (2000) = f (2)
f (1 x 2011) = f (2011) + f (1)
f (2011) = f (2011) + f (1)
J'en déduis que f (1) = 0
Ensuite
f (3 x 2011) = f (3) + f (2011)
f (6033) = f (3) + f (2011)
f (6033) = f (3) + f (2011) car 6033 et 3 se terminent tous deux par 3
0 = 0 + f (2011)
Finalement f (2011 ) = 0

f (2012) = f (4503)
= f (4) + f (503)
= f (4) + 0
= f (4)
= f (22)
= f (2) + f(2)
= 2f (2)
f (2) =
f (2) + f (5) = f (25) = f (10)
= f (2) + f (5) = 0
Or f (n) 0  pour tout n
Donc f (2) 0  et f (5) 0
Finalement f (2012) = 0

Si 2 nombres sont positifs ou nuls et que leur somme est nulle, alors ces 2 nombres sont nuls. Donc f (2) = 0  et f (5) =0

f (2014) = f (19)
Or  f (193) = f(57) = f (19)+f (3) = f (19) donc f (19) = f (57)
De plus : f (573) = f (171) = f (57) + f (3) = f (57)  donc f (57) = f (171)
Et f (1713) = f (513) = f (171) + f (3) = f (171) donc f (171) = f (513) = 0
Finalement f (2014) = 0

J'espère que c'est ça parce-que je me suis un peu pommée

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