Bonsoir,
1. Les coordonnées des sommets sont A ( 4 ; 5 ) ; B ( 8 ;6) ; C (6 ; 14 ) et D (2 ; 13)
2) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme car [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex].
En effet
[tex]\overrightarrow{AB} (8-4;6-5)\\\\\overrightarrow{AB} (4;1)\\\\et\\\\\overrightarrow{DC} (6-2;14-13)\\\\\overrightarrow{DC} (4;1)[/tex]
Dès lors :
[tex]AB= DC =\sqrt{(8-4)^2+(6-5)^2}\\\\AB= DC =\sqrt{4^2+1^2}\\\\AB= DC =\sqrt{16+1}\\\\AB= DC =\sqrt{17}[/tex]
et
[tex]AD= BC =\sqrt{(2-4)^2+(13-5)^2}\\\\AD= BC =\sqrt{(-2)^2+8^2}\\\\AD= BC =\sqrt{4+64}\\\\AD= BC =\sqrt{68}[/tex]
3) Le triangle ADC est rectangle en D.
En effet :
[tex]AD =\sqrt{68}\Longrightarrow AD^2=68[/tex]
[tex]DC =\sqrt{17}\Longrightarrow DC^2=17[/tex]
[tex]AC=\sqrt{(6-4)^2+(14-5)^2}\\AC=\sqrt{2^2+9^2}\\AC=\sqrt{4+81}\\AC=\sqrt{85}\Longrightarrow AC^2=85[/tex]
AC² = AD² + DC² car 85 = 68 + 17.
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADC est rectangle en D.
Le parallélogramme ABCD est donc un rectangle.
