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Bonjour, j'ai un DM de Math (terminale ES )à rendre pour demain et je n'y arrive pas. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? Je suis perdue.
Voilà l’énoncé :
f est la fonction définie sur I = [-3 ; 2] par f(x) = [tex]2 x^{3} + 5 x^{2} + 4x + 2[/tex]
a) Etudier les variations de f sur I.
b) Justifier que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a sur I
c) Donner un encadrement de a à 0,01 près.
d) En déduire le signe de f sur I.

Merci de m'aider, je bloque, je bloque. J'ai étudié la variation de f en passant par la dérivée ([tex]6 x^{2} +10x +4[/tex]), j'ai calculé delta et ensuite [tex]x _{1} = -1 [/tex] et [tex]x_{2} = -2/3[/tex] et j'ai fait le tableau de variation avec f croissante de -3 à -1, décroissante de -1 à -2/3 et croissante de -2/3 à 2; mais après je suis perdue. Merci pour votre aide.

Sagot :

Bonjour,

1) [tex]f(x)=2x^3+5x^2+4x+2[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-3&&-1&&-\frac{2}{3}&&2 \\ 2x^3+5x^2+4x+2&-19&\nearrow&1&\searrow&\frac{26}{27}\approx 0,96&\nearrow&46\\ \end{array}[/tex]

2) Sur l'intervalle [-3;-1], la fonction f est continue, strictement croissante et est telle que f(-3) = -19 < 0 et f(-1) = 1 > 0.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une valeur unique [tex]\alpha\in[-3;-1][/tex] telle que  [tex]f(\alpha)=0.[/tex]

Sur [-1 ; 3], [tex]f(x)\ge\dfrac{26}{27}>0[/tex].

Donc, il existe une valeur unique [tex]\alpha\in[-3;2][/tex] telle que  [tex]f(\alpha)=0.[/tex]

3) Par encadrements successifs, nous obtenons : [tex]1,65 < \alpha < 1,66[/tex]

4) [tex]f(x)<0\ \ si\ x <\ \alpha\\ f(x) = 0\ si\ x=\alpha\\ f(x)>0\ \ si\ x >\ \alpha[/tex]

cloclo48
Bonjour,

1) [tex]f(x)=2x^3+5x^2+4x+2 [/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x& -3&& -1&& -\frac{2}{3}&&2 \\ 2x^3+5x^2+4x+2&-19&\nearrow&1&\searrow&\frac{26}{27}\approx 0,96&\nearrow&46\\ \end{array}[/tex]

2) Sur l'intervalle [-3;-1], la fonction f est continue, strictement croissante et est telle que f(-3) = -19 < 0 et f(-1) = 1 > 0.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une valeur unique [tex]\alpha\in[-3;-1][/tex]telle que  [tex]f(\alpha)=0[/tex]

Sur [-1 ; 2], [tex]f(x)\ge\dfrac{26}{27}>0[/tex].

Donc, il existe une valeur unique [tex]\alpha\in[-3;2][/tex] telle que  [tex]f(\alpha)=0[/tex]

3) Par encadrements successifs, nous obtenons : [tex]-1,66<\alpha<-1,65[/tex]

4) Signe de f sur I : 

[tex]f(x)<0\ \ si\ x <\alpha\\f(x) = 0\ si\ x=\alpha\\f(x)>0\ \ si\ x>\alpha[/tex]
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