Bonsoir,
1) a) Voir pièce jointe.
b) [tex]3\vec{EB}+\vec{ED}=\vec{0}\Longleftrightarrow \vec{ED}=3\vec{BE}[/tex]
Or [tex]\vec{BE} + \vec{ED} =\vec{BD}\\\\\vec{BE} + 3\vec{BE} = \vec{BD}\\\\4\vec{BE} = \vec{BD}\\\\\vec{BE}=\dfrac{1}{4}\vec{BD}[/tex]
Donc le point E est sur le segment [BD] au quart de ce segment à partir de B.
c) [tex]3\vec{FA}+\vec{FC}=\vec{0}\Longleftrightarrow \vec{FC}=3\vec{AF}[/tex]
Donc le point F est sur le segment [AC] au quart de ce segment à partir de A. (Analogue au point précédent)
d) Voir pièce jointe
2) Soit le repère [tex](A;\vec{AB},\vec{AC})[/tex]
Déterminons les coordonnées des points I, J et K.
[tex]B(0;1)\Longrightarrow \boxed{I(0;\dfrac{1}{2})}[/tex]
[tex]C(1;0)\ \ et\ \ D(2;2)\Longrightarrow \boxed{J(\dfrac{1+2}{2};\dfrac{0+2}{2}) = (\dfrac{3}{2};1)}[/tex] (puisque J est le milieu de [CD])
[tex]\vec{BE}=\dfrac{1}{4}\vec{BD}[/tex] avec [tex]\vec{BD}\ (2-0;2-1) = (2;1) [/tex]
Donc [tex]\vec{BE} : \dfrac{1}{4}(2;1) = (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4})[/tex]
Si E(x;y) et B(0;1), alors [tex]\vec{BE} : (x-0;y-1) =(x;y-1)[/tex]
Sachant que [tex]\vec{BE}=\dfrac{1}{4}\vec{BD}[/tex], alors
[tex](x;y-1)=\dfrac{1}{4}(2;1)\\\\(x;y-1) = (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4})\\\\ \left \{ {{x=\frac{1}{2}} \atop {y-1=\frac{1}{4}}} \right. \\\\ \left \{ {{x=\frac{1}{2}} \atop {y=\frac{5}{4}}} \right. [/tex]
Par conséquent [tex]E:(\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{4})[/tex]
Sachant que [tex]\vec{AF}=\dfrac{1}{4}\vec{AC}[/tex], nous avons : [tex]F:(\dfrac{1}{4};0})[/tex]
Puisque K est le milieu de [EF], nous avons : [tex]\boxed{K:(\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2};\dfrac{\frac{5}{4}+0}{2})=(\dfrac{3}{8};\dfrac{5}{8})}[/tex]
Suivant le même procédé, nous montrerions que l'on a : [tex]\vec{IK}:(\dfrac{3}{8};\dfrac{1}{8})[/tex] et [tex]\vec{KJ}:(\dfrac{9}{8};\dfrac{3}{8})[/tex].
Cela démontre que les points I, J et K sont colinéaires puisque [tex]\vec{KJ}=3\vec{IK}[/tex]
