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2 disques sont tangents entre eux et tangents à la meme droite. A et B sont les points de contacts. Si on nomme R le rayon du grand disque et r le rayon du petit disque montrer que AB exposant2 = 4Rr

Sagot :

Bonjour,

Figure en pièce jointe

Soit le disque de centre O et de rayon R, tangent à la droite au point A.
Soit le disque de centre O' et de rayon r, tangent à la droite au point B.
Plaçons le point M sur (OA) tel que (O'M) soit perpendiculaire à (OA).

Le quadrilatère MABO' est un rectangle puisqu'il possède 3 angles droits.
En effet :
(OA) et (O'B) sont perpendiculaire à (AB) vu la tangence de la droite.
(O'M) soit perpendiculaire à (OA).

Par conséquent : 

OO' = R + r
OM = OA - MA = R - r
O'M = AB

Par Pythagore dans le triangle rectangle OMO', nous avons : 

OO'² = OM² + O'M²

(R + r)² = (R - r)² + AB²

R² + 2Rr + r² = R² - 2Rr + r² + AB²

R² + 2Rr + r² - R² + 2Rr - r² = AB²

4Rr = AB²

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