Monique34
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Bonjour à tous et à toutes , je suis bloqué à mon dm , le voici :

Dans un repère orthonormé ( 0 , i , j ) , on considère les points M ,M' et N le milieu du segment [MM'] , et d la droite d'équation y=x .
 
1. On souhaite montrer que si M et M' ont pour coordonnées respectives (x;y) et (y;x) dans ( 0 ,i , j ) alors M etM' sont symétriques par rapport à la droite d .

Pour cela :
 a) Déterminer les coordonnées de N en fonction de x et y . Que peut-on en déduire pour N ?
 b) Calculer OM et OM' en fonction de x et y . Que peut-on en déduire concernant la droite d
 c) Justifier qu'alors M et M' sont symériques par rapport à la droite d d'équation y=x .

2. Réciproque : on souhaite montrer que si M et M' sont symétriques par rapport à la droite d alors les points M et M' ont pour coordonnées respectives (x;y) et (y;x) dans ( O , i , j )

Pour cela : 
 a) Soit M(x;y) et M'(x';y')deux points symétriques par rapport à la droite d d'équation y=x , P(x;x) et Q(y;y) .
 Déterminer la nature du triangle MPQ , puis celle du quadrilatere PMQM' .
 b) Que peut-on en déduire pour les vecteurs MP et QM' ( fleche sur MP et QM' ) ?
 c) Déterminer en fonction des reel x , y , x' et y' les coordonnées des vecteurs MP et QM' .
   En déduire que l'on a x'=y et y'=x .
   Conclure

3. Rédiger la propriété démontrée précedemment .

Merci ;)

Sagot :

Dans un repère orthonormé ( 0 , i , j ) ,  M ,M' et N le milieu du segment [MM'] , et d la droite d'équation y=x .
 
1. M(x;y) et M’(y;x) dans ( 0 ,i , j ) donc N(1/2(x+y) ;1/2(x+y)) yN=xN Donc N appartient à (d)
OM²=x²+y² ; OM’²=x²+y² donc OM=OM’ donc OMM’ isocèle en O donc (d)=(ON)
xM=yM’ et xM’=yM donc M et M’ sont symétriques par rapport à (d)

2. Soit M(x;y) et M'(x';y') deux points symétriques par rapport à la droite d d'équation y=x , P(x;x) et Q(y;y) donc MP²=(y-x)² et MQ²=(y-x)² donc MP=MQ donc M appartient à (d)
 donc le quadrilatère PMQM' est un carré
donc vec(MP)=vec(QM’)
vec(MP)(0 ;x-y) et vec(QM’)(x’-y ;y’-y) Donc x’-y=0 et y’-y=x-y  donc  x'=y et y'=x .

 Conclusion : M et M’ sont symétriques par rapport à (d) ssi M(x ;y) et M’(y ;x)



danielwenin
je t’envoie ma réponse quand même en fichier joint.
j'ai tracé les figures ça t'aidera peut-être.
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