Soit f(x)=1+sin(2x)+2cos(x)
1) f'(x)=2*cos(2x)+2*(-sin(x))
=2(cos(2x)-sin(x))
=2*(1-2sin²(x)-sin(x))
=-2*(2sin²(x)+sin(x)-1)
=-2*(sin(x)+1)(2sin(x)-1)
car 2X²+X-1=(X+1)(2X-1)
2) -1<sin(x)<1 donc sin(x)+1>0
donc f'(x) est du signe de 1-2sin(x)
1-2sin(x) s'annule en pi/6 et 5pi/6
donc f est croissante sur [-pi/2;pi/6]
f est décroissante sur [pi/6;5pi/6]
f est croissante sur [5pi/6;3pi/2]
3) on applique le th des valeurs intermédiaires sur [pi/6;5pi/6] et sur [5pi/6;3pi/2]
en effet, sur chaque intervalle :
- f est continue et monotone
- f change de signe
on déduit alors les 2 racines de f :
a=1,83 et b=3,60 à 0,01 près
4) g(x)=2x-cos(2x)+4sin(x)
g'(x)=2+2*sin(2x)+4cos(x)
=2(1+sin(2x)+2cos(x))
=2*f(x)
donc g'(x) est du signe de f(x)
donc g est croissante sur [-pi/2;a]
g est décroissante sur [a;b]
g est croissante sur [b;3pi/2]
