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Bonjour ! Aidez moi pour cet exercice, s'il vous plait :)

Merci.

 

1. Résoudre chacune des équations sans oublier d'éliminer les valeurs qui annulent les dénominateurs.


a) 1/X - 1/X+1 = 1/6

 

b) 1/X+2 - 1/X-1 = 8

Sagot :

xxx102
Bonjour,

a)
Je considère que tu dois résoudre l'équation suivante :
[tex]\frac 1x - \frac 1{x+1} = \frac 16[/tex]
On commence par déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces équations. Ici, on a juste des x au dénominateur, or un dénominateur n'est jamais nul. On doit donc chercher les valeurs de x telles que l'un au moins des dénominateurs soit nul, cad :
[tex]x = 0\\ \text{ OU}\\ x+1 = 0\\ x = -1[/tex]
On a identifié deux valeurs interdites, qui sont 0 et -1 ; l'ensemble de définition est donc :
[tex]\mathbb R \backslash \left\{-1 ; 0\right\}[/tex]

Maintenant, on peut additionner les écritures fractionnaires en utilisant les règles de calcul : [tex]\frac 1x - \frac 1{x+1} = \frac 16\\ \frac{\left(x+1\right)-x}{x\left(x+1\right)} = \frac 16\\ \frac{1}{x\left(x+1\right)} = \frac 16[/tex]

On fait un produit en croix puis on résout :
[tex]6 = x\left(x+1\right)\\ x^2+x-6 = 0\\ \Delta = 1^2-4\times 1\times \left(-6\right) = 25\\ x_1 = \frac{1+\sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3\\ x_2 = \frac{1-\sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2\\ S = \left\{-2 ; 3\right\}[/tex]

b)Je considère l'équation :
[tex]\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} = 8[/tex]
Les valeurs interdites sont données par les équations :
x+2 = 0
x = -2
OU
x - 1 = 0
x = 1
L'ensemble de définition est donc :
[tex]\mathbb R \backslash \left\{-2 ; 1\right\}[/tex]

On réduit puis on résout :
[tex]\frac{1}{x+2}- \frac{1}{x-1} = 8\\ \frac{\left(x-1\right) - \left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)} = 8\\ \frac{-3}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)} = 8\\ 8\left(x+2\right)\left(x-1\right) = -3\\ 8x^2+8x-16 = -3\\ 8x^2+8x-13 = 0\\ \Delta = 8^2-4\times 8 \times \left(-13\right) = 480\\ x_1 = \frac{-8+\sqrt{480}}{2\times 8} = \frac{\sqrt{30} - 2}{4}\\ x_2= \frac{-8-\sqrt{480}}{2\times 8} = \frac{-\sqrt{30} - 2}{4}\\ S = \left\{\frac{\sqrt{30} - 2}{4} ; \frac{-\sqrt{30} - 2}{4}\right\}[/tex]

Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.