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Sagot :
Soit f la fonction définie sur ]1;+infini[ par f(X)=X/(X-1).
a) Montrer que pour tout X>1, on a f(X)=1+(1/(X-1)).
f(x)=x/(x-1)
=(x-1+1)/(x-1)
=(x-1)/(x-1)+1/(x-1)
=1+1/(x-1)
b) En déduire que pour tout X>1, f(X)>1.
si x>1 alors x-1>0
donc 1/(x-1)>0
donc f(x)>1
c) On définit la fonction g par g(X)=f(f(X)). Démontrer que g est bien définie sur ]1;+infini[.
g est définie si f(x) est différent de 1
or f(x)>1
donc f(x)-1>0
donc f(x)-1 non nul
donc g est définie sur IR
d) Le programme ci-dessous permet de calculer l'image d'un réel X>1 par la fonction g.
PROGRAM:FOFOF
:Prompt X
:X->A
:For(I,1,2)
:A/(A-1)->A
:End
:Disp "F(F(X))="
,A
Saisir ce programme puis le faire fonctionner pour plusieurs valeurs de X.
Quelle conjecture peut-on faire sur la fonction de g ?
on conjecture que g(x)=x
e) Démontrer cette conjecture.
g(x)=f(f(x))=f(1+1/(x-1))
=1+1/(1+1/(x-1)-1)
=1+1/(1/(x-1))
=1+x-1
=x
a) Montrer que pour tout X>1, on a f(X)=1+(1/(X-1)).
f(x)=x/(x-1)
=(x-1+1)/(x-1)
=(x-1)/(x-1)+1/(x-1)
=1+1/(x-1)
b) En déduire que pour tout X>1, f(X)>1.
si x>1 alors x-1>0
donc 1/(x-1)>0
donc f(x)>1
c) On définit la fonction g par g(X)=f(f(X)). Démontrer que g est bien définie sur ]1;+infini[.
g est définie si f(x) est différent de 1
or f(x)>1
donc f(x)-1>0
donc f(x)-1 non nul
donc g est définie sur IR
d) Le programme ci-dessous permet de calculer l'image d'un réel X>1 par la fonction g.
PROGRAM:FOFOF
:Prompt X
:X->A
:For(I,1,2)
:A/(A-1)->A
:End
:Disp "F(F(X))="
,A
Saisir ce programme puis le faire fonctionner pour plusieurs valeurs de X.
Quelle conjecture peut-on faire sur la fonction de g ?
on conjecture que g(x)=x
e) Démontrer cette conjecture.
g(x)=f(f(x))=f(1+1/(x-1))
=1+1/(1+1/(x-1)-1)
=1+1/(1/(x-1))
=1+x-1
=x
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