Entre 2001 et 2010, la part des sapins Nordmann dans l'achat
de sapins de noël n'a cessé d'augmenter. Chez un grand pépiniériste du
Morvan, la part était de 31% en 2001, de 55% en 2004, pour atteindre 63%
en 2009.
On modélise une fonction donnée par: f(x)= a+(k/(x+b))où x est
le rang de l'année par rapport à 2000.
1) A l'aide d'un système, déterminer
a, k et b.On établira que b=1.
f(x)= a+(k/(x+b))
f(1)=31 ; f(4)=55 ; f(9)=63
donc
{a+k/(b+1)=31
{a+k/(b+4)=55
{a+k/(b+9)=63
donc
{a+k/(b+1)=31
{k/(b+9)-k/(b+4)=8
{k/(b+4)-k/(b+1)=24
donc
{a+k/(b+1)=31
{1/(b+9)-1/(b+4)=8/k
{1/(b+4)-1/(b+1)=24/k
donc
{a+k/(b+1)=31
{-5/((b+4)(b+9))=8/k
{-3/((b+1)(b+4))=24/k
donc
{a+k/(b+1)=31
{(b+4)(b+9)=-5k/8
{(b+1)(b+4)=-k/8
donc
{a=71
{b=1
{k=-80
donc
f(x)=71-80/(x+1)
2) Conjecturer la part de sapins Nordmann
que peut prévoir ce pépiniériste à long terme.
la limite de f(x) quand x tend vers +infini vaut 71
donc on peut prévoir une stabilisation à long terme de 71% d'achat de sapins Nordmann
