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Soit A, B, C et D  quatre points distincts et non alignés du plan.
Déterminer et représenter les ensembles de points caractérisés par chacune des propositions suivantes.
a) Les vecteurs MA+MB et MC+MD sont colinéaires.
b) Les vecteurs MB+MC et MC-MA sont colinéaires.
c) IIMA+MBII=IIMC+MDII
d) IIMB+MDII=IIMC-MAII

Coup de pouce: Introduire des milieux

Sagot :

a) Les vecteurs MA+MB et MC+MD sont colinéaires.
2MI=2kMJ avec I milieu de [AB] et J milieu de [CD]
MI=kMJ donc l'ensemble est la droite (IJ)

b) Les vecteurs MB+MC et MC-MA sont colinéaires.
MB+MC=kMC-kMA
kMA+MB+(1-k)MC=0
soit G le barycentre de (A,k) , (B,1) , (C,1-k)
(k+1+1-k)MG=0 donc l'ensemble est le point G

c) IIMA+MBII=IIMC+MDII
||2MI||=[[2MJ||
avec I milieu de [AB] et J milieu de [CD]
MI=MJ donc l'ensemble est la médiatrice de [IJ]

d) IIMB+MDII=IIMC-MAII
||2MI||=||AC||
MI=AC/2 donc l'ensemble est le cercle de centre I et de rayon AC/2

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