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Sagot :
Soit la fonction f définie par f(x) =(x-1)e[x/(x-1)]
1) Étudier la variation de f ainsi que les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
f'(x)=e(x/(x-1))+(x-1)*(-1/(x-1)²)e(x/(x-1))
=e(x/(x-1))[1-1/(x-1)]
=e(x/(x-1))*((x-2)/(x-1))
f'(x) est du signe de (x-2)/(x-1)
donc f est croissante sur ]-inf;1[
f est décroissante sur ]1;2]
f est croissante sur [2;+inf[
2) Préciser si on peut prolonger f par continuité en x=1
f(x)=(x-1)e(x/(x-1))
=(x-1)e(1+1/(x-1))
=e(1+1/(x-1))/(1/(x-1))
on pose X=1/(x-1)
f(x)=e(1+X)/X=g(X)
si x tend vers 1- alors X tend vers -inf
alors g(X) tend vers 0
si x tend vers 1+ alors X tend vers +inf
alors g(X) tend vers +inf
ainsi la limite à gauche et à droite de f en 1 diffère
donc on ne peut pas prolonger f en x=1 par continuité
3) Montrer que f(x)-e(x) tend vers 0 quand x tend vers + ou - infini
f(x)-e(x)=(x-1)e(x/(x-1))-e(x)
un équivalent au voisinage de inf est :
f(x) -e(x) ~ (x-1)e-e(x)
1) Étudier la variation de f ainsi que les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
f'(x)=e(x/(x-1))+(x-1)*(-1/(x-1)²)e(x/(x-1))
=e(x/(x-1))[1-1/(x-1)]
=e(x/(x-1))*((x-2)/(x-1))
f'(x) est du signe de (x-2)/(x-1)
donc f est croissante sur ]-inf;1[
f est décroissante sur ]1;2]
f est croissante sur [2;+inf[
2) Préciser si on peut prolonger f par continuité en x=1
f(x)=(x-1)e(x/(x-1))
=(x-1)e(1+1/(x-1))
=e(1+1/(x-1))/(1/(x-1))
on pose X=1/(x-1)
f(x)=e(1+X)/X=g(X)
si x tend vers 1- alors X tend vers -inf
alors g(X) tend vers 0
si x tend vers 1+ alors X tend vers +inf
alors g(X) tend vers +inf
ainsi la limite à gauche et à droite de f en 1 diffère
donc on ne peut pas prolonger f en x=1 par continuité
3) Montrer que f(x)-e(x) tend vers 0 quand x tend vers + ou - infini
f(x)-e(x)=(x-1)e(x/(x-1))-e(x)
un équivalent au voisinage de inf est :
f(x) -e(x) ~ (x-1)e-e(x)
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