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Sagot :
On considère la suite u pour tout entier n non nul par:
Un =
1) démontrer que pour tout entier K
récurrence sur k
hérédité : k! >2^(k-1)
k*k! > 2^(k-1)*k
(k+1)! > 2^(k-1)*2
(k+1)! > 2^k
2) démontrer qur pour tout entier naturel n:
en déduire que la suite u est majorée par 3
U(n) < 1+2^0+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(1-n)
U(n)<1+1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)
U(n)<1+(1-2^(-n))/(1-1/2)
U(n)<1+2*(1-2^(-n))
U(n)<1+2*(1-0)
U(n)<3
U est majorée par 3
3) la suite u est-elle convergente
U est croissante et majorée
donc (th de convergence monotone) U est convergente
Un =
1) démontrer que pour tout entier K
récurrence sur k
hérédité : k! >2^(k-1)
k*k! > 2^(k-1)*k
(k+1)! > 2^(k-1)*2
(k+1)! > 2^k
2) démontrer qur pour tout entier naturel n:
en déduire que la suite u est majorée par 3
U(n) < 1+2^0+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(1-n)
U(n)<1+1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)
U(n)<1+(1-2^(-n))/(1-1/2)
U(n)<1+2*(1-2^(-n))
U(n)<1+2*(1-0)
U(n)<3
U est majorée par 3
3) la suite u est-elle convergente
U est croissante et majorée
donc (th de convergence monotone) U est convergente
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