a) x est le diamètre d'un des deux cercles. La plus petite
valeur possible est 0 cm et la plus grande est le diamètre du cercle qui est
autour des deux autres : 10 cm.
Donc x appartient à [0;10]
b) Expression algébrique de f(x).
Nous avons deux cercles blancs :
un petit C1 de diamètre x
et un grand C2 de diamètre 10-x
f(x) est la somme des aires de
ces deux cercles (rappel Aire d'un cercle = PiR² = PiD²/4 ou R est le rayon et
D le diamètre)
Aire C1 = Pi
x²/4
Aire C2 = Pi (10-x)²/4
Or (10-x)² est une identité
remarquable de la forme (a-b)² = a²-2ab+b²
(10-x)²= 10²-2*10*x +x²
(10-x)²= 100-20x +x²
Aire C2 = Pi (100-20x +x²)/4
Donc f(x) = Pi x²/4 + Pi (100-20x
+x²)/4
Mettons Pi/4 en facteur, on
obtient
f(x) = (Pi /4) (x²+100-20x +x²)
f(x) = (Pi /4) (100-20x +2x²)
Mettons 2 en facteur du second
facteur
f(x) = 2(Pi /4) (x²-10x+50)
f(x) = (Pi /2) (x²-10x+50)
c) En entrant la fonction trouvée à la question b, tu devrais obtenir une courbe
qui ressemble à celle qui est en pièce jointe.
d) On peut conjecturer que la courbe
f(x), définit sur [0;10], passe par un minimum pour x=5.
e) f(5) = (Pi/2)(5²-10*5+50)
f(5) = (Pi/2)(25-50+50)
f(5 )= 25(Pi/2)
f(x)-f(5) = (Pi/2)(x²-10x+50)
- 25*Pi/2
On met Pi/2
en facteur
f(x)-f(5) = (Pi/2)(x²-10x+50
– 25)
f(x)-f(5) = (pi/2)(x²-10x+25)
or x²-10x+25 est une identité remarquable de la forme a²-2ab+b²=(a-b)²
donc
f(x)-f(5).= (Pi/2)(x-5)²
Or (Pi/2)(x-5)²
> 0 ou (Pi/2)(x-5)² = 0
Donc f(x)
> f(5) ou f(x) = f(5)
D'où f(x)
passe par un minimum pour x=5.
Tu n'as plus
qu'à tracer la courbe. Tu l'as sur le schéma fourni.
