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Sagot :
Un = 1+(1/2^3)+...+(1/n^3)
1. Justifier que (Un) est croissante
Un=(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3
U(n+1)=(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3+1/(n+1)^3
U(n+1)-U(n)=1/(n+1)^3>0
donc U est croissante
2. Montrer par récurrence que pour tout n appartenant aux entiers naturels (sauf 0) : Un est inférieur(ou égal) à 2-(1/n)
(I) U(1)=1<2-1
(H) U(n)<2-1/n
(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3<2-1/n
(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3+1/(n+1)^3<2-1/n+1/(n+1)^3
U(n+1)<2-1/n+1/(n+1)³
U(n+1)<2-1/(2(n+1)³)+1/(n+1)³
U(n+1)<2-1/(n+1)³
(C) : pour tout entier n : U(n)<2-1/n
3. Que peut-on conclure ?
U(n)<2-1/n<2
donc U est majorée par 2
U est croissante et majorée par 2
donc U est convergente vers k
rque : k =Gamma(3)
1. Justifier que (Un) est croissante
Un=(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3
U(n+1)=(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3+1/(n+1)^3
U(n+1)-U(n)=1/(n+1)^3>0
donc U est croissante
2. Montrer par récurrence que pour tout n appartenant aux entiers naturels (sauf 0) : Un est inférieur(ou égal) à 2-(1/n)
(I) U(1)=1<2-1
(H) U(n)<2-1/n
(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3<2-1/n
(1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+...+(1/n)^3+1/(n+1)^3<2-1/n+1/(n+1)^3
U(n+1)<2-1/n+1/(n+1)³
U(n+1)<2-1/(2(n+1)³)+1/(n+1)³
U(n+1)<2-1/(n+1)³
(C) : pour tout entier n : U(n)<2-1/n
3. Que peut-on conclure ?
U(n)<2-1/n<2
donc U est majorée par 2
U est croissante et majorée par 2
donc U est convergente vers k
rque : k =Gamma(3)
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