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Sagot :
Comment montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
"P(n) : N=2^(n+1)+3^(3n+1) est divisible par 5"
(I) : pour n=0
N=2^(n+1)+3^(3n+1)=2^1+3^1=5 est multiple de 5 donc P(0) est vraie
(H) : on suppose qu'il existe n tel que P(n) soit vraie
donc N=2^(n+1)+3^(3n+1)=5p avec p entier naturel
2^(n+2)+3^(3(n+1)+1)
=2*(2^(n+1))+3^3*(3^(3n+1))
=2*(2^(n+1))+3^3*(5p-2^(n+1))
=2*(2^(n+1)+27*(5p)-27*(2^(n+1))
=27*(5p)-25*(2^(n+1))
=5*(27p-5*2^(n+1))
=5p'
donc P(n+1) est vraie
(C) : pour entier naturel n,
N=2^(n+1)+3^(3n+1) est divisible par 5
"P(n) : N=2^(n+1)+3^(3n+1) est divisible par 5"
(I) : pour n=0
N=2^(n+1)+3^(3n+1)=2^1+3^1=5 est multiple de 5 donc P(0) est vraie
(H) : on suppose qu'il existe n tel que P(n) soit vraie
donc N=2^(n+1)+3^(3n+1)=5p avec p entier naturel
2^(n+2)+3^(3(n+1)+1)
=2*(2^(n+1))+3^3*(3^(3n+1))
=2*(2^(n+1))+3^3*(5p-2^(n+1))
=2*(2^(n+1)+27*(5p)-27*(2^(n+1))
=27*(5p)-25*(2^(n+1))
=5*(27p-5*2^(n+1))
=5p'
donc P(n+1) est vraie
(C) : pour entier naturel n,
N=2^(n+1)+3^(3n+1) est divisible par 5
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