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J'ai un DM de mathématiques à rendre pour la rentrée, seulement je suis bloquée à la dernière question du premier exercice sur les suites; voici le sujet:

 

Hugo à emprunté une somme de 100 euros à la banque à interêts composés de 1% par mois. Chaque mois, il rembourse 30 euros. On note Mn le montant en euros qui lui reste à rembourser après son n-ième remboursement et on considère que M0= 1000.

 

La question: Voici un algorithme permettant entre autres de connaître le nombre de mois nécessaire pour rembourser le prêt. Compléter les lignes 7 et 11. Que représente la variable d? La variable c? Déterminer le montant total remboursé et en déduire le total d'interêt versés.

 

1- Variables

2- M est du type nombre

3- n est du type nombre

4- d est du type nombre

5- c est du type nombre

6- Début Algorithme

7- M prend la valeur 1000 ( si je ne me suis pas trompée )

8- n prend la valeur 0

9-Tant que M>=30 faire

10- Début tant que

11- M prend la valeur 1,01*M-30 ( si je ne me suis de nouveau pas trompée )

12- n rend la valeur n+1

13- Fin tant que

14- Afficher "le dernier versement est:"

15- d prend la valeur M

16- Afficher d

17- n prend la valeur n+1

18- Afficher "le nombre de remboursements est:"

19- Afficher n

20- c prend la valeur 30*(n-1)+d-1000

21- Afficher c

22- Fin algorithme.

 

J'ai trouver que la variable d représentait le dernier versement que va faire Hugo et que la variable c représentait le nombre de remboursements qu'il aurait fait, mais là encore je n'en suis pas sûre. a seconde partie de la question me pose réellement problème par contre :(

 

Merci d'avance pour votre aide!

 

Sagot :

Par exemple M12 est ce qui reste à rembourser après le 12 ième remboursement, au bout d'un an quoi. Le 13 ième remboursement est de 30 € qui vont se soustraire non pas à M12 mais à 1,01M12, car la banque nous compte des intérêts sur M12.
La banque compte 1% d'intérêts sur M12, soit 0,01M12 ( 1%=0,01) qui s'ajoute à M12 soit :

M12+0,01M12=M12(1+0,01)=1,01M12

Ce qui fait qu'après le 13 ième remboursement il reste à rembourser :

M13=1,01M12-30

Si on fait le même raisonnement pour le n+1 ième remboursement on obtient :

Mn+1=1,01Mn-30b)

Il faut calculer

tu réduis le numérateur et tu mets 1,01 en facteur.....et normalement il y a une simplification importante.
Tu dois trouver 1,01, tu en déduis donc que la suite (Vn) est géométrique de raison 1,01 et je te laisse trouver le premier terme.

c)

Pour exprimer Vn en fonction de n, il faut utiliser la formule qui donne le terme général d'une suite géométrique, tu dois avoir ça dans ton cours. Sinon cherche sur le net : "terme général d'une suite géométrique."
Pour exprimer Un en fonction de n il faut d'abord remarquer que Un=Vn+3000....et maintenant c'est facile.

d)

Tu as compris que la suite (Un) est la même que la suite (Mn) et normallement on trouve donc :



et lorsque l'emprunt est remboursé.

L'algorithme peut ressembler à ça :

M=1000
n=0
Tant que M>0
M prend la valeur 3000-20001,01n
n prend la valeur n+1
Fin Tant que
afficher n
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