Bonjour,
1a) Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu
Soit I le milieu de [MP] et J le milieu de [NQ]
On cherche Q tel que I=J.
[tex]x_I= \frac{x_M+x_P}{2}= \frac{-1+2}{2}= \frac{1}{2}\\\\
y_I= \frac{y_M+y_P}{2}= \frac{2+(-3)}{2}= -\frac{1}{2}[/tex]
[tex]x_J= \frac{5+x_Q}{2} \\\\
y_J= \frac{4+y_J}{2} [/tex]
donc : [tex] \frac{5+x_Q}{2} = \frac{1}{2}\Longleftrightarrow 5+x_Q=1\Longleftrightarrow x_Q=-4\\\\
\frac{4+y_J}{2}=- \frac{1}{2}\Longleftrightarrow 4+y_J=-1\Longleftrightarrow y_J=-5 [/tex]
Le point Q tels que MNPQ soit un parallélogramme a pour coordonnées (-4;-5)
1b)
Soit K le milieu de [MN] et L le milieu de [RP].
On cherche R tel que K=L
[tex] \frac{x_R+2}{2}= \frac{-1+5}{2} =2\\\\
\frac{y_R-3}{2}= \frac{2+4}{2}=3 [/tex]
On a donc :
[tex] \frac{x_R+2}{2}=2\Longleftrightarrow x_R=4-2\Longleftrightarrow x_R=2\\\\
\frac{y_R-3}{2}=3\Longleftrightarrow y_R=6+3\Longleftrightarrow y_R=9 [/tex]
Le point R tel que MNRP soit un parallélogramme a pour coordonnées (2;9)
2a)
Soit S le milieu de [RQ].
[tex]x_S= \frac{x_R+x_Q}{2} = \frac{-4+2}{2}=-1\\\\
y_S= \frac{y_R+y_Q}{2}= \frac{-5+9}{2}=2 [/tex]
D'où :S = M
M est bien le milieu de [RQ]
2b)
MNPQ est un parallélogramme donc MQ=NP et (MQ)//(NP).
Pareillement, MNRP est un parallélogramme donc MR=NP et (MR)//(NP)
On en déduit que MQ=MR
Les droites (MQ) et (MR) sont parallèles à la droite (NP) et passent par le point M donc (MQ)=(MR).
Par conséquent, les points M, Q et R sont alignés tel que MQ=MR.
D'où :
M est le milieu de [RQ]
