Bonjour,
Question 2.
n est le reste de la division euclidienne du nombre par 2, ainsi pour 1 on a n = 0 (puisque 2x0+1 = 1), pour 9, n = 4 (puisque 2x4=1 = 9), pour 25 on a n = 12 (12x2+1 = 25), pour 49 on a n = 24 (24x2+1 = 49), pour 81 on a n = 40(2x40+1 = 81) et pour 121 on a n = 60 (2x60+1 = 121).
Question 4 :
En utilisant les identités remarquables, on trouve :
[tex]\left(n+1\right)^2 = n^2+2n+1[/tex]
Si on transfère le n² de l'autre côté de l'égalité, on obtient :
[tex]\left(n+1\right)^2 -n^2 = 2n+1[/tex]
Ce qui revient à exprimer 2n+1 comme la différence de deux carrés. Si 2n+1 est un carré parfait, alors il s'écrira comme la différence de deux carrés parfaits (le membre de gauche de l'égalité).
Les triplets pythagoriciens s'obtiennent en remplaçant n par les valeurs de l'exercice 2 :
[tex]\left(n+1\right)^2-n^2 = 2n+1\\
\left(0+1\right)^2 - 0^2 = 2\times 0+1\\
1^2-0^2 = 1[/tex]
En continuant ainsi, on obtient :
[tex]5^2-4^2 = 9 = 3^2\\
13^2-12^2 = 25 = 5^2\\
25^2-24^2 = 49 = 7^2\\
41^2-40^2 = 81 = 9^2\\
61^2-60^2 = 121 = 11^2[/tex]
D'où les triplets pythagoriciens :
(1 ; 0 ; 1)
(3 ; 4 ; 5)
(5 ; 12 ; 13)
(7 ; 24 ; 25)
(9 ; 40 ; 41)
(11 ; 60 ; 61).
Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.
