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Comment montrer par récurrence que pour tout naturel n , 3 divise 2+10^n .

Merci d'avaance

Sagot :

Comment montrer par récurrence que pour tout naturel n , 3 divise 2+10^n .

(I) n=0 donne 2+10^n=3 et 3 divise 3

(H) on suppose que 3 divise 2+10^n
donc il existe un entier k tel que 2+10^n=3k
donc 10^n=3k-2
donc 10*10^n=30k-20
donc 10^(n+1)=30k-20
donc 2+10^(n+1)=30k-18
donc 2+10^(n+1)=3(10k-6)
donc 3 divise 10^(n+1)

(C) pour tout entier n : 3 divise 2+10^n
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