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Sagot :
n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1
Un = p=somme de p=0 à p=n de 1/P! = 1+ 1/1! +1/ 2! + ... + 1/n!
a) Il faut montrer que Un est croissante
U(n+1)-U(n)=1/(n+1)!>0
donc (Un) est croissante
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier k appartient N on a k ! >=2 a la puissance k-1
récurrence : (Pk) : k! >= 2^(k-1)
(I) k=2 donne 2 >= 2 donc la relation est vraie
(H) on suppose que k! >=0 2^(k-1)
donc k*k! >= 2^(k-1)*k
donc (k+1)§ >= 2^(k-1) >= 2^(k-1)*2
donc (k+1)! >= 2^k
donc la relation est vraie à l'ordre k+1
(C) pour tout entier n>=2 : n! >= 2^(n-1)
Un = p=somme de p=0 à p=n de 1/P! = 1+ 1/1! +1/ 2! + ... + 1/n!
a) Il faut montrer que Un est croissante
U(n+1)-U(n)=1/(n+1)!>0
donc (Un) est croissante
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier k appartient N on a k ! >=2 a la puissance k-1
récurrence : (Pk) : k! >= 2^(k-1)
(I) k=2 donne 2 >= 2 donc la relation est vraie
(H) on suppose que k! >=0 2^(k-1)
donc k*k! >= 2^(k-1)*k
donc (k+1)§ >= 2^(k-1) >= 2^(k-1)*2
donc (k+1)! >= 2^k
donc la relation est vraie à l'ordre k+1
(C) pour tout entier n>=2 : n! >= 2^(n-1)
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