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La ville BAUTEMPS possède une plainte de jeux bordée d'une piste cyclable.
La piste cyclable a la forme d'un rectangle ABCD dont a «cassé trois des coins».
Le chemin de G à H est un arc de cercle ; les chemins de E à F et de I à J sont des segments.
Les droites (EF) et (AC) sont parallèles.

Quelle est la longueur de la piste cyclable? Justifier.

La Ville BAUTEMPS Possède Une Plainte De Jeux Bordée Dune Piste Cyclable La Piste Cyclable A La Forme Dun Rectangle ABCD Dont A Cassé Trois Des Coins Le Chemin class=

Sagot :

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La longueur de la piste cyclable est :
AE+EF+FG+GH+HI+IJ+JA
Calcul de AE
AE=AB-EB=288-48= 240 m

Calcul de EF
Les droites (EF) et (AC) sont parallèles
d'après le théorème de Thalès
EB/AB=EF/AC
donc EF=AC*EB/AC =312*48/288 = 52 m

Calcul de GC
GC=BC-(BF+FG)
FG=52m
Calcul de BC
Le triangle ABC est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore :
AC²=AB²+BC²
donc BC²=AC²-AB²
BC²=312²-288²=97344-82944=14400
BC=V(14400)= 120 m
Calcul de BF
Le triangle EFB est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore :
EF²=EB²-BF²
donc BF²=EF²-EB²=52²-48² = 2704-2304= 400
BF= 20 m
d'ou
GC=120-(20+52)=120-72=48 m

Calcul de l'arc GH
L'arc GH est une portion du cercle de rayon GC dont l'angle est 45°.
GH=45*2Pi*GC/360=45*48*Pi/180= environ 37,7 m

Calcul de IH
IH=DC-(DI+HC)
DC=AB=288 m
HC=GC=48m
IH=288-(29+48)= 211 m

Calcul de IJ
Le triangle IDJ est rectangle en D donc d'après le théorème de Pythagore :
IJ²=ID²+DJ²=29²+72²=841+5184=6025
IJ=V(6025)=77,62 m

Calcul de JA
JA=AD-JD
JD=BC=120
Ja=120-72=48 m

Donc la longueur de la piste cyclable est :
AE+EF+FG+GH+HI+IJ+JA
240+52+52+37,7+211+77,62+48=718,32 m

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