Soit x la longueur (en cm) du rectangle initial
et y la largeur (en cm) du rectangle initial.
Si l'on enlève 2 cm à la longueur, cela fait donc (en cm) : x − 2
Si l'on ajoute 2 cm à la largeur, cela fait donc (en cm) : y + 2
Comme la figure finale est un carré, on a : x − 2 = y + 2
comme son aire est le double du rectangle initial, on a : (x − 2) (y + 2) = 2xy
Ce qui nous donne un système d'équations.
De la première équation, on tire que : x = y + 4
Ce qui fait donc, dans la seconde : (y + 2)² = 2(y + 4)y
soit y² + 4y + 4 = 2y² + 8y
d'où -y² − 4y + 4 = 0
or le discriminant de cette équation est : b² − 4ac = (−4)² − 4(4)(-1) = 32
elle admet donc deux solutions :
— soit y = (4 − √32) / (-2) = -2 + √32/2
— soit y = (4 + √32) / (-2) = -2 − √32/2
Une longueur ne pouvant être négative la deuxième solution est impossible.
Donc y = -2 + √32/2
et x = 2 + √32/2
La longueur du rectangle est donc de (√32/2 + 2) cm
et sa largeur est donc de (√32/2 − 2) cm
[Vérification : xy = (√32/2)² − 2² = 32/4 − 4 = 4
(x − 2) (y + 2) = (√32/2)² = 8 = 2xy]
