D'abord il faut être capable de comparer les nombres qui composent l'ensemble. Si tu prends 2 nombres (entiers naturels) différents au hasard, il faut être capable de dire lequel est le plus grand (et de facto le plus petit).
En clair, ça définit le "<" et le ">".
Une fois que l'on sait comparer des nombres, on sait les ordonner, du plus petit au plus grand. Quand ces nombres sont ordonnés entre-eux on est capable de parler du nombre "suivant" ou "précédent".
Ok ? On continue : pour un nombre "a", on est capable de trouver son successeur "a+". Un exemple, 47 est le successeur de 46, qui est lui-même le successeur de 45, etc.
Avec la notation précédente, 47 = 46+
On peut alors définir l'addition de cette façon : a + b est le b-ième successeur de a. Tu te places sur a et tu parcours les nombres soigneusement ordonnés pour trouver celui qui est b rang plus loin.
Si tu mets toutes ces définitions bout à bout : Tu as les entiers naturels et tu définis le comparateur "<", tu ordonnes ensuite ces entiers : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....
2 + 2 désigne le 2ième successeur de 2. Tu parcours la liste précédente et tu tombes sur 4.
C'est de cette façon que l'on apprend à faire des additions au primaire :
- D'abord on apprends par cœur la liste des entiers naturels ordonnées ; on apprend à compter.
- Ensuite on explique l'addition en comptant sur les doigts : on part de 2 et on compte 2 de plus pour constater que l'on tombe sur 4.
- Puis, pour aller plus vite et éviter de compter sur ses doigts à chaque fois, on apprend les tables d'additions par cœur.
- Et puis, comme on est malin, on a mis en place un système en base 10 (le système décimal), qui permet de retrouver facilement ces nombres au delà de 9 connaissant les tables d'additions jusqu'à 9.
