Exercice 82
A = 1737/1544 + 735/2520
1737/1544 = (193x9) / (193x8) = 9/8
735/2520 = (7x105) / (24x105) = 7/24
A= 9/8 + 7/24
A = (9x24 + 7x8) / (8x24)
A = (216 + 56) / 192
A = 272/192
A = (17x16) / (12x16)
A = 17/12
B = 3700/2072 x 5341/1635
3700/2072 = (925x4) / (518x4) = 925/518
5341/1635 = (49x109) / (15x109) = 49/15
B = 925/518 x 49/15
B = (925x49) / (518x15)
B = (185x5x7x7) /(74x7x5x3)
B = (185x7)/(74x3)
B = 1295/222
Exercice 83
A Résultats préliminaires
1a. Les différents restes possibles dans la division euclidienne d'un nombre entier n par 2 sont:
0 et 1
b. Quelque soit l'entier n on a n = 2q + r
quand r=0 alors n = 2q + 0 = 2q
quant r=1 alors n = 2q + 1
c. les nombres de la forme 2q sont appelés nombres pairs
Les nombres de la forme 2q+1 sont appelés nombres impairs
2.
Calculons le carré d'un nombre n pair
n = 2a (qui est bien de la forme 2q ou q=a donc pair)
n² = (2a)²
n² = 4a²
n² = 2(2a²)
n² est de la forme 2q ou q=2a² donc le carré d'un nombre pair n est pair
Calculons le carré d'un nombre n impair
n = 2a+1 (qui est bien de la forme 2q+1 ou q=a donc impair)
n² = (2a+1)²
n² = (2a+1)(2a+1)
n² = 2ax2a + 2ax1 + 1x2a + 1x1
n² = 4a²+4a + 1
n² = 2(2a²+2a) + 1
n² est de la forme 2q + 1 ou q=2a²+2a donc le carré d'un nombre impair n est impair
B Démonstration
1. supposons qu'il exite V2 =p/q (V2 = racine carré de 2)
a. puisque V2=p/q alors p = qV2
p²= (qV2)²
p²=q²(V2)² or (V2)²=2
p²=2q²
b. p² est de la forme 2a ou a=q² donc p² est un nombre pair
c.Nous avons démontrer à la question A2. que le carré d'un nombre pair est pair.
Et nous avons démontrer, à la question précédente, que p² est pair donc p est pair
p=2n
d. p²= (2n)² = 4n² or p² = 2q² (cf question B1)
donc 2q²= 4n²
alors q²= 4/2 n²
q²=2n²
q² est de la forme 2a ou a=n² donc q² est un nombre pair
Or le carré d'un nombre pair est pair donc q est un nombre pair
q=2m
2.
Donc p/q = 2n/2m
2n/2m est réductible or p/q est irréductible ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était V2 est rationnel
3. Conclusion
donc V2 est irrationnel
