Bonsoir,
1)
On développe en utilisant les règles de calcul :
[tex]f\left(x\right) = \left(9x^2-6x+1\right)-3\left(x-2\right)\left(1-3x\right)+\left(9x^2-1\right)\\
f\left(x\right) = 9x^2-6x+1-3\left(-3x^2+7x-2\right)+9x^2-1\\
f\left(x\right)= 9x^2-6x+1+9x^2-21x+6+9x^2-1\\
f\left(x\right) = 27x^2-27x+6[/tex]
2)On applique les identités remarquables :
a²-2ab+b² = (a-b)²
a²-b² = (a+b)(a-b)
[tex]f\left(x\right) = \left(9x^2-6x+1\right)-3\left(x-2\right)\left(1-3x\right)+\left(9x^2-1\right)\\
f\left(x\right) = \left(\left(3x\right)^3 -2\times 3x \times 1 + 1^2\right)-3\left(x-2\right)\left(1-3x\right)+\left(\left(3x\right)^2-1^2\right)\\
f\left(x\right)=\left(3x-1\right)^2-3\left(x-2\right)\left(1-3x\right)+\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\\
f\left(x\right)=\left(3x-1\right)^2+3\left(x-2\right)\left(3x-1\right)+\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\\[/tex]
Une fois arrivé à ce stade, on peut mettre (3x-1) en facteur. C'est une factorisation simple, par un facteur commun (pas une identité remarquable).
[tex]f\left(x\right)=\left(3x-1\right)^2+3\left(x-2\right)\left(3x-1\right)+\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)\\
f\left(x\right) = \left(3x-1\right)\left[\left(3x-1\right)+3\left(x-2\right)+\left(3x+1\right)\right]\\
f\left(x\right) = \left(3x-1\right)\left(3x-1+3x-6+3x+1\right)\\
f\left(x\right) = \left(3x-1\right)\left(9x-6\right)[/tex]
On n'oublie pas de mettre 3 en facteur sur la deuxième parenthèse :
[tex]f\left(x\right) = \left(3x-1\right)\left(9x-6\right)\\
f\left(x\right) = 3\left(3x-1\right)\left(3x-2\right)[/tex]
3)On se sert de la forme développée pour effectuer ce calcul. On remplace x par sa valeur, qui est ici de 1/3 :
[tex]f\left(x\right) = 27x^2-27x+6\\
f\left(\frac 13\right) = 27\times \left(\frac 13\right)^2-27\times \frac 13 +6\\
f\left(\frac 13\right) = 27\times \frac 19 -27\times \frac 13 +6\\
f\left(\frac 13\right) = 3-9+6 = 0[/tex]
4)On se sert de la forme factorisée de f :
[tex]f\left(x\right) = 3\left(3x-1\right)\left(3x-2\right)[/tex]
Un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
3 = 0 (ce qui est faux pour toute valeur de x) ou
[tex]3x-1 = 0\\
3x = 1\\
x = \frac 13[/tex]
OU
[tex]3x-2 = 0\\
3x = 2\\
x = \frac 23[/tex]
d'où :
[tex]S = \left\{\frac 13 ; \frac 23\right\}[/tex]
Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.
