1) calculer sans calculatrice :
A= 1000²-999²
B=701²-700²
C=302²-301²
D=801²-809²
Que peut-on conjecturer a partit de ces 3 resultat ?
3) Montrer que pour tout entier naturel n , (n 1)²-n²=2n 1
En deduire que pour tout nombre impair est une diffèrence de deux carrès consecutifs.
4) Utiliser les resultats preècedent pour ecrire 199 comme une difference de deux carrès.
1) A= 1999
B= 1401
C= 603
D= -12880
Il suffit de faire la somme des deux chiffres et si le premier est superrieur au nombre qui suit alors il sera au dessus de zero tandis que si le premier nombre et inferieur a celui qui suit alors il sera en dessous de zero.
A= 1000²-999² = 1000² - (1000-1)² = 1000² - 1000² + 2000 -1 = 1999
B=701²-700² = (700 + 1)² - (700)² = 700² + 1400 + 1 - 700² = 1401
C=302²-301² = (300 +2)² - (300 +1)² = 300² + 1200 + 4 - 300² - 600 - 1 = 600 + 3 = 603
D=801²-809² = (800 +1)² - (800 +9)² = 800² + 1600 + 1 - 800² - 14400 - 81 = -12800 - 80 = -12880
Que peut-on conjecturer à partir des 3 premiers :
que 1000²-999² c'est aussi 1000+999 = 1999
que 701²-700² c'est 701+700 = 1401
que 302²-301² c'est 302+301 = 603
donc on peut supposer que si x² - y² et si x>y et si x=y+1 ou x=y-1 alors x²-y² = x+y
3) (n+1)²-n²=2n+1
il faut donc montrer que (n-1)²-n² - 2n-1 = 0
on dévloppe et réduit :
(n+1)²-n² - 2n-1
= n² + 2n + 1 - n² - 2n-1
= 0
2n est un nombre pair
donc 2n+1 est impair
et suite à la démontration que (n+1)²-n²=2n+1
alors oui un nombre impare (2n+1) est une diffèrence de deux carrès consecutifs (n+1)²-n²
4)
199 = 2n + 1
n = 198/2 = 99
199 = (99+1)² - 99²
199 = 100² - 99²
En espérant t'avoir aidé.
