Bonsoir,
Je suppose que tu veux calculer sin (3a).
Tout d'abord, on rappelle que sin 3a = sin (2a+a)
On peut donc appliquer :
[tex]\sin\left(\alpha+\beta\right) = \sin \alpha\cos \beta +\sin \beta \cos \alpha\\
\sin\left(2a+a\right) = \sin\left(2a\right)\cos a+\sin a\cos\left(2a\right)[/tex]
Maintenant, il reste à se débarrasser des 2a. On applique le même principe :
[tex]\sin\left(2a\right) = \sin\left(a+a\right) = \sin a \cos a+\sin a \cos a = 2\sin a \cos a\\
\cos\left(2a\right) = \cos\left(a+a\right) = \cos a \cos a - \sin a \sin a= \cos ^2a - \sin^2a[/tex]
On remplace dans l'expression trouvée plus haut :
[tex]\sin \left(3a\right) =\left( 2\sin a \cos a \right)\cos a + \sin a \left(\cos^2 a -\sin ^2a\right)\\ [/tex]
On peut transformer la deuxième parenthèse : on sait que sin²a+cos²a = 1, donc :
[tex]\sin \left(3a\right) =\left( 2\sin a \cos a \right)\cos a + \sin a \left(\cos^2 a -\sin ^2a\right)\\
\sin \left(3a\right) = \left(2\sin a \cos a \right)\cos a +\sin a \left(\cos^2 a +\sin ^2 a -2\sin ^2 a \right)\\
\sin \left(3a\right) = 2\sin a \cos^2 a +\sin a \left(1 -2\sin ^2 a \right)[/tex]
On applique ensuite le même procédé pour le cos²a :
[tex] \sin \left(3a\right) = 2\sin a \cos^2 a +\sin a \left(1 -2\sin ^2 a \right)\\
\sin \left(3a\right) = 2\sin a\left( \cos^2 a+\sin^2a -\sin^2 a \right)+\sin a \left(1 -2\sin ^2 a \right)\\
\sin \left(3a\right) = 2\sin a\left(1 -\sin^2 a \right)+\sin a \left(1 -2\sin ^2 a \right)\\
[/tex]
Puis on développe :
[tex] \sin \left(3a\right) = 2\sin a\left(1 -\sin^2 a \right)+\sin a \left(1 -2\sin ^2 a \right)\\
\sin \left(3a\right) = 2\sin a -2\sin ^3a +\sin a -2\sin ^3 a\\
\sin \left(3a\right) = 3\sin a -4\sin ^3a[/tex]
J'espère t'avoir aidée. Bonne soirée!
