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Sagot :
Un projectile lancé depuis le sol est supposé avoir sa trajectoire dans un plan vertical. Si on ne tient pas compte de la résistance de l’air, cette trajectoire dépend de deux paramètres :
•la vitesse initiale :v0
•l’angle de lancement par rapport à l’horizontale :α
Le temps est exprimé en secondes, le lancement à lieu à l’instant t= 0.La hauteur du projectile à l’instant t est alors donnée par la formule :
h(t) =−5t²+v0 t sinα
1. On suppose que v0= 100m.s−1. Calculer, dans chacun des cas suivants, le temps que mettra le projectile pour toucher le sol avec :
a)α= 30◦ donc h(t)=-5t²+100t.sin(30°)=-5t²+50t
h(t)=0 donne t=0 ou t=10 s
b)α= 45◦ donc h(t)=-5t²+100t.sin(45°)=-5t²+70,71t
h(t)=0 donne t=0 ou t=14,14 s
c)α= 60◦ donc h(t)=-5t²+100t.sin(60°)=-5t²+86,6t
h(t)=0 donne t=0 ou t=17,32 s
2. On suppose que v0= 150m.s−1et que le projectile met 15 secondes pour toucher le sol.Quel est l’angle α de lancement?
donc h(t)=-5t²+150t sin(α)
h(15)=0 donc -5(15)²+150(15)sin(α)=0
donc sin(α)=0,5 donc α=30°
3. Si un projectile lancé avec un angle de15◦ met 12 secondes pour retomber au sol, avec quelle vitesse a-t-il été lancé?
h(t)=-5t²+v0t sin(15°) et h(12)=0
donc -5(12)²+v0(12)sin(15°)=0
donc v0=231,82 m.s-1
4. Résoudre, en fonction de v0 et sinα, l’équation h(t) = 0. Que représentent les deux solutions de cette équation?
h(t)=0
-5t²+v0t sinα=0
-5t+v0 sinα=0 ou t=0
t=(v0/5)*sinα ou t=0
ces 2 solutions correspondent :
* à l'instant t du lancement
* à l'instant t de retombée au sol
5. On suppose maintenant que v0= 120m.s−1 et α= 50◦. déterminer pour quelle valeur delta hauteur du projectile est maximale.
h(t)=-5t²+120t sin(50°)
=-5t²+91,93t
h est une parabole de sommet S d'abscisse t=91,93(2*5)=9,19 s
•la vitesse initiale :v0
•l’angle de lancement par rapport à l’horizontale :α
Le temps est exprimé en secondes, le lancement à lieu à l’instant t= 0.La hauteur du projectile à l’instant t est alors donnée par la formule :
h(t) =−5t²+v0 t sinα
1. On suppose que v0= 100m.s−1. Calculer, dans chacun des cas suivants, le temps que mettra le projectile pour toucher le sol avec :
a)α= 30◦ donc h(t)=-5t²+100t.sin(30°)=-5t²+50t
h(t)=0 donne t=0 ou t=10 s
b)α= 45◦ donc h(t)=-5t²+100t.sin(45°)=-5t²+70,71t
h(t)=0 donne t=0 ou t=14,14 s
c)α= 60◦ donc h(t)=-5t²+100t.sin(60°)=-5t²+86,6t
h(t)=0 donne t=0 ou t=17,32 s
2. On suppose que v0= 150m.s−1et que le projectile met 15 secondes pour toucher le sol.Quel est l’angle α de lancement?
donc h(t)=-5t²+150t sin(α)
h(15)=0 donc -5(15)²+150(15)sin(α)=0
donc sin(α)=0,5 donc α=30°
3. Si un projectile lancé avec un angle de15◦ met 12 secondes pour retomber au sol, avec quelle vitesse a-t-il été lancé?
h(t)=-5t²+v0t sin(15°) et h(12)=0
donc -5(12)²+v0(12)sin(15°)=0
donc v0=231,82 m.s-1
4. Résoudre, en fonction de v0 et sinα, l’équation h(t) = 0. Que représentent les deux solutions de cette équation?
h(t)=0
-5t²+v0t sinα=0
-5t+v0 sinα=0 ou t=0
t=(v0/5)*sinα ou t=0
ces 2 solutions correspondent :
* à l'instant t du lancement
* à l'instant t de retombée au sol
5. On suppose maintenant que v0= 120m.s−1 et α= 50◦. déterminer pour quelle valeur delta hauteur du projectile est maximale.
h(t)=-5t²+120t sin(50°)
=-5t²+91,93t
h est une parabole de sommet S d'abscisse t=91,93(2*5)=9,19 s
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