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Soit ABC un triangle, O le centre de son cercle circonscrit C et H son orthocentre.

Le point D est tel que [AD] soit un diamètre de C .

 

1) Faire une figure 

2) Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles ainsi que les droites (BD) et (CH).

3) a. Quelle est la nature du quadrilatère BHCD, justifiez la réponse.

     b. En déduire que [BC] et [HD] ont le meme milieu.

4) Soit H ' le symétrique de H par rapport à (BC)

    a. Montrer que la droite (BC) est parallèle à la droite (H'D).

    b. En déduire que le point H' appartient au cercle C

Sagot :

starlaure59
2° Montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles ainsi que les droites (BD) et (CH). Dans le triangle ABC le point H est l'orthocentre donc (BH) est la hauteur issue de B donc (BH) (AC) C est sur le cercle de diamètre [AD] donc ADC est rectangle en C donc (CD) (AC) donc (BH) // (CD)
3° a) Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ? Justifier la réponse. De même  (CH) // (BD) car (CH) est hauteur du triangle ABC donc (CH)(AB) et B est sur le cercle de diamètre [AD] donc (BD)(AB) Le quadrilatère BHCD a ses cotés deux à deux parallèles c'est donc un parallélogramme.
b) En déduire que [BC] et [HD] ont le même milieu. BHCD est un parallélogramme donc ses diagonales, [BC] et [HD], se coupent en leur milieu
4° Soit H' le symétrique de H par rapport à (BC).
a) Montrer que la droite (BC) est parallèle à (H'D). [BC] et [HD], se coupent en leur milieu donc la droite (BC) passe par le milieu de [DH] H et H' sont symétriques par rapport à (BC) donc (BC) passe par le milieu de [HH'] Dans le triangle La droite (BC) passe par les milieux de côtés [HH'] et [DH] elle est donc parallèle au troisième côté donc (H'D) // (BC)
b) En déduire que le point H' appartient au cercle C H et H' sont symétriques par rapport à (BC) donc (HH') (BC) donc (H'D) (HH') donc (H'D) (AH') donc H' est sur le cercle de diamètre [AD] 
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