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Sagot :
{U0 = 0 et Un+1 = Un + 2n-11}
u(0)=0
u(1)=-11
u(2)=-20
u(3)=-27
u(4)=-32
u(5)=-35
u(6)=-36
u(10)=-20
u(15)=45
u(20)=160
conjecture : u(n)=(n-12)*n=n²-12n
preuve par récurrence :
(i) u(0)=0=0²-2*0 et u(1)=1-12=-11
donc P(0) & P(1) sont vraies
(h) si P(n) est vraie alors
u(n)=n²-12n
u(n+1)=u(n)+2n-11
=n²-12n+2n-11
=n²-10n-11
=(n-5)²-6²
=(n-11)(n+1)
=[(n+1)-12](n+1)
donc P(n+1) est vraie
(c) pour tout entier n : u(n)=n²-12n
u(0)=0
u(1)=-11
u(2)=-20
u(3)=-27
u(4)=-32
u(5)=-35
u(6)=-36
u(10)=-20
u(15)=45
u(20)=160
conjecture : u(n)=(n-12)*n=n²-12n
preuve par récurrence :
(i) u(0)=0=0²-2*0 et u(1)=1-12=-11
donc P(0) & P(1) sont vraies
(h) si P(n) est vraie alors
u(n)=n²-12n
u(n+1)=u(n)+2n-11
=n²-12n+2n-11
=n²-10n-11
=(n-5)²-6²
=(n-11)(n+1)
=[(n+1)-12](n+1)
donc P(n+1) est vraie
(c) pour tout entier n : u(n)=n²-12n
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