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Sagot :
Je corrige tout d'abord l'énoncé !
Soit U la suite définie pour tout entier n par Un=n²/(n+1)²
1) Montrer que, pour tout n0, on a 0Un<1
u(n)=n²/(n+1)²
donc u(n)>0
aussi n<n+1 donc n²<(n+1)²
donc n²/(n+1)²<1
donc u(n)<1
2) Montrer que la suite U est croissante sur N
u(n+1) - u(n)=[(n+1)²/(n+2)²] - [n²/(n+1)²]
=[(n+1)^4 - n²(n+2)²] / [(n+2)²(n+1)²]
=[2(n+1)²-1] / [(n+2)²(n+1)²]
=(2n²+4n+1) / [(n+2)²(n+1)²]
donc u(n+1)-u(n)>0
donc u est croissante
ainsi u est croissante et majorée par 1
donc u converge vers 1
3) En déduire, le plus petit entier n tel que:
a-1-Un<0,1
on obtient n>20
b-1-Un<0,001
on obtient n>2000
Soit U la suite définie pour tout entier n par Un=n²/(n+1)²
1) Montrer que, pour tout n0, on a 0Un<1
u(n)=n²/(n+1)²
donc u(n)>0
aussi n<n+1 donc n²<(n+1)²
donc n²/(n+1)²<1
donc u(n)<1
2) Montrer que la suite U est croissante sur N
u(n+1) - u(n)=[(n+1)²/(n+2)²] - [n²/(n+1)²]
=[(n+1)^4 - n²(n+2)²] / [(n+2)²(n+1)²]
=[2(n+1)²-1] / [(n+2)²(n+1)²]
=(2n²+4n+1) / [(n+2)²(n+1)²]
donc u(n+1)-u(n)>0
donc u est croissante
ainsi u est croissante et majorée par 1
donc u converge vers 1
3) En déduire, le plus petit entier n tel que:
a-1-Un<0,1
on obtient n>20
b-1-Un<0,001
on obtient n>2000
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