mlleaudrey
Answered

Laurentvidal.fr vous aide à trouver des réponses fiables à toutes vos questions grâce à une communauté d'experts. Explorez des milliers de questions et réponses fournies par une large gamme d'experts dans divers domaines sur notre plateforme de questions-réponses. Découvrez des solutions fiables à vos questions grâce à un vaste réseau d'experts sur notre plateforme de questions-réponses complète.

Bonsoir, je suis bloqué depuis plusieurs jours devant  cet exercice, besoin d'aide urgemment 
Voici l'énoncé: 
Soit n un entier naturel non nul. 
Une urne contient n boules noires et 2 boules blanches. 
Une personne tire l'une après l'autre et au hasard des boules dans cette urne, chaque boule tirée n'étant pas remise dans l'urne. On note : 

X : la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche. 
Y : la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la seconde boule blanche. Ni (respectivement Bi) l'´evenement le i-eme tirage amène une boule noire(respectivement une boule blanche) 

1.1 Étude d'un exemple. 

On suppose dans cette question que n = 2 
Déterminer l'univers-image X< Ω >, la loi de probabilité de X et calculer l'espérance E(X)

 1.2 Retour au cas général. 
Après avoir déterminé l'univers-image X< Ω >, 

1. Exprimer pour k ∈ X< Ω >,l'évènement [X = k] en fonction des évènements Ni et Bi 
2.Démontrer que pour tout k ∈ X< Ω >, P ([X = k]) = 2(n+2-k)/((n+1)(n+2)) 
3. Calculer l'espérance mathématique E(X) et la variance V (X). 

Sagot :

1.1
si n=2, il y a deux boules noires et deux boules blanches
L'univers image est l'ensemble des possibilités pour X.
Au minimum (si on est chanceux), on doit tirer un boule pour avoir une boule blanche, et si on est malchanceux, on doit tirer au maximum 3 boules (si on n'a pas d chance et qu'on tire d'abord toutes les boules noires).
L'univers image est donc:
{1;2;3}

P(X=1): On tire une boule blanche du premier coup. 2 possibilités sur 4, donc:
P(X=1)=2/4=1/2

P(X=2): on tire d'abord une boule noire (probabilité 1/2), puis on tire une boule blanche (lors du 2è tirage, il y a 2 boules blanches et une noire, donc probabilité d'avoir une blanche=2/3)
P(X=2)=1/2*2/3=1/3

P(X=3):on tire d'abord une boule noire (probabilité 1/2), puis on tire une boule noire (lors du 2è tirage, il y a 2 boules blanches et une noire, donc probabilité d'avoir une noire=1/3) et ensuite on tire une blanche (il ne reste que des boules blanches, donc proba=1 pour la dernière boule)
P(X=3)=1/2*1/3*1=1/6

E(X)=1*1/2+2*1/3+3*1/6=10/6

J'ai pas le temps de faire la 2è partie, désolée
Nous apprécions votre temps. Revenez quand vous voulez pour obtenir les informations les plus récentes et des réponses à vos questions. Merci de votre visite. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour tous vos besoins en information. À bientôt. Merci de faire confiance à Laurentvidal.fr. Revenez pour obtenir plus d'informations et de réponses.