mlleaudrey
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Bonsoir, je suis bloqué depuis plusieurs jours devant  cet exercice, besoin d'aide urgemment 
Voici l'énoncé: 
Soit n un entier naturel non nul. 
Une urne contient n boules noires et 2 boules blanches. 
Une personne tire l'une après l'autre et au hasard des boules dans cette urne, chaque boule tirée n'étant pas remise dans l'urne. On note : 

X : la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la première boule blanche. 
Y : la variable aléatoire représentant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir la seconde boule blanche. Ni (respectivement Bi) l'´evenement le i-eme tirage amène une boule noire(respectivement une boule blanche) 

1.1 Étude d'un exemple. 

On suppose dans cette question que n = 2 
Déterminer l'univers-image X< Ω >, la loi de probabilité de X et calculer l'espérance E(X)

 1.2 Retour au cas général. 
Après avoir déterminé l'univers-image X< Ω >, 

1. Exprimer pour k ∈ X< Ω >,l'évènement [X = k] en fonction des évènements Ni et Bi 
2.Démontrer que pour tout k ∈ X< Ω >, P ([X = k]) = 2(n+2-k)/((n+1)(n+2)) 
3. Calculer l'espérance mathématique E(X) et la variance V (X). 

Sagot :

1.1
si n=2, il y a deux boules noires et deux boules blanches
L'univers image est l'ensemble des possibilités pour X.
Au minimum (si on est chanceux), on doit tirer un boule pour avoir une boule blanche, et si on est malchanceux, on doit tirer au maximum 3 boules (si on n'a pas d chance et qu'on tire d'abord toutes les boules noires).
L'univers image est donc:
{1;2;3}

P(X=1): On tire une boule blanche du premier coup. 2 possibilités sur 4, donc:
P(X=1)=2/4=1/2

P(X=2): on tire d'abord une boule noire (probabilité 1/2), puis on tire une boule blanche (lors du 2è tirage, il y a 2 boules blanches et une noire, donc probabilité d'avoir une blanche=2/3)
P(X=2)=1/2*2/3=1/3

P(X=3):on tire d'abord une boule noire (probabilité 1/2), puis on tire une boule noire (lors du 2è tirage, il y a 2 boules blanches et une noire, donc probabilité d'avoir une noire=1/3) et ensuite on tire une blanche (il ne reste que des boules blanches, donc proba=1 pour la dernière boule)
P(X=3)=1/2*1/3*1=1/6

E(X)=1*1/2+2*1/3+3*1/6=10/6

J'ai pas le temps de faire la 2è partie, désolée
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