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Sagot :
On considère la fonction f définie sur R par:
a) Montrer que f est impaire, c'est a dire que pour tout réel x, f(-x)= -f(x)
f(-x)=(-x)/(1+(-x)²)
=-x/(1+x²)
=-f(x)
donc f est imapire sur IR
b) Calculer f(x) pour toutes les valeurs x de l'ensemble
il faut utiliser une table de valeurs
(cf calculatrice)
c)Pouvez-vous faire l'hypothese d'un maximum de f sur [0;+∞ [ ? Vérifiez-la par le calcul
f possède un maximum en 1/2
ce maximum est atteint pour x=1
vérification
f(x)=x/(1+x²)
f(1)=1/2
or (1-x)² > 0
donc 1-2x+x² >0
donc 1+x² > 2x
donc x/(1+x²) < 1/2
donc f(x) < 1/2
d) Etudier les variations de f sur [0;1], puis sur [1;+∞ [
* f est décroissante si x<-1
* f est croissante si -1 < x < 1
* f est décroissante s X >1
e) Dresser son tableau de variations puis esquisser au mieux sa representation graphique
graphique laissé au lecteur........
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