Voici pour l'exercice 1 :
-------------------------------
1) f '(x) = 4x³ - 98 × 2x
= 4x³ - 196x valable sur tout x ∈ IR.
= 4x(x² - 49)
= 4x(x - 7)(x + 7)
2)
a) f '(x) = 0 si 4x(x - 7)(x + 7) = 0 soit si :
— 4x = 0 d'où x = 0
— x - 7 = 0 d'où x = 7
— x + 7 = 0 d'où x = -7
b) | x | -∞ -7 0 7 +∞ |
| 4x | - | - 0 + | + |
| x - 7 | - | - | - 0 + |
| x + 7 | - 0 + | + | + |
| f'(x) | - 0 + 0 - | + |
3) On a donc :
| x | -∞ -7 0 7 +∞ |
| f'(x) | decr. | cr. | décr. | cr. |
4)
a) X² - 98X + 192 = 0
Cette équation a pour dicriminant 98² - 4(1)(192) = 9604 - 768 = 8836 = 94²
qui est positif, donc on a deux racines :
— (98 - 94)/2(1) = 4/2 = 2
— (98 + 94)/2(1) = 192/2 = 96
Donc X² - 98X + 192 = 0 pour x ∈ {2 ; 96}
b) Ce qui fait que f(x) = x⁴ - 98x² + 192 = 0 pour x² ∈ {2 ; 96}
soit pour x ∈ {-4√6 ; -√2 ; √2 ; 4√6}
soit environ pour x ∈ {-9,80 ; -1,41 ; 1,41 ; 9,80}
5) On déduit, du tableau de variations et des racines, le tableau de signes suivant :
| x | -∞ -4√6 -√2 √2 4√6 +∞ |
| f'(x) | + 0 - 0 + 0 - 0 + |
