N.B. : sauf indication contraire, comprendre :
AB comme le vecteur AB,
et 0 comme le vecteur 0.
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On considère un cercle de centre O, et 3 points A,B et C sur ce cercle formant un triangle quelconque.
On appelle A' le milieu de [BC],B' le milieu de [CA],C' le milieu de [AB].
Partie A
1) Faire une figure.
Cf. fichier joint
2) Que représentent pour ABC le point O ainsi que les droites (OA'),(OB'), et (OC') ?
Le point O étant le centre du cercle circonscrit au triangle ABC représente le point où concourent les trois médiatrices des côtés du triangle ABC, c'est à dire le point d'intersection des droites (OA'),(OB'), et (OC').
3) Montrer que pour tout point M, (1) MB + MC = 2 MA'
Et (2) MA + MB = 2 MC'
Puisque A' est le milieu de [BC], on a : A'B = CA' = -A'C
MB + MC = MA' + A'B + MA' + A'C
= 2 MA' + A'B + A'C
= 2 MA' - A'C + A'C
= 2 MA'
Par le même raisonnement, on prouve que :
MA + MB = 2 MC'
Partie B
On considère le centre de gravité G de ABC et le point P tel que : AP = 2/3 AA'
4) Montrer que : AB + AC = 2 AA' puis que PA + PB + PC = 0
AB + AC = 2 AA + A'B + A'C
= 2 AA' - A'C + A'C
= 2 AA'
Et :
PA + PB + PC = PA + PA + AB + PA + AC
= 3 PA + 2 AA'
= 3 × 2/3 A'A + 2 AA'
= 2 A'A + 2 AA'
= 0
5) Montrer que PA + PB = 2 PC' puis que PC = -2 PC '
PA + PB = PC' + C'A + PC' + C'B
= 2 PC' + C'A + C'B
= 2 PC' + C'A - C'A
= 2 PC'
PC = PA + PB + PC - PA - PB
= 0 - 2 PC'
= -2 PC'
6) En deduire que P et G sont confondus,
puis que G vérifie : GA+GB + GC = 0
et 3 OG = OA + OB + OC
Puisque PC = -2 PC', on a : CP = 2/3 CC'.
Or le centre de gravité se trouve par définition à cet endroit.
Donc P et G sont confondus.
Et comme PA + PB + PC = 0
et que P et G sont le même point, GA + GB + GC = 0
De plus : OA + OB + OC = 3 OG + GA + GB + GC
= 3 OG + 0
= 3 OG
Compléter la figure.
Cf. fichier joint.
Partie C
On considère l'orthocentre H de ABC et le point K tel que: OK = OA + OB + OC
8) Montrer que : OB + OC = 2 OA' puis que AK = 2 OA'
OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C
= 2 OA' - A'C + A'C
= 2 OA'
AK = OK - OA
= OA + OB + OC - OA
= OB + OC
= 2 OA'
9) En deduire que (AK) et (BC) sont perpendiculaires,puis que (BK) et (AC) sont aussi perpendiculaires.
Comme (OA') est la médiatrice du segment [BC], elle lui est nécessairement perpendiculaire.
Et comme nous venons de démontrer que AK est collinéaire à OA', (AK) est donc aussi perpendiculaire à (BC)
Par le même raisonnement, on prouve que (BK) est perpendiculaire à (AC)
10) En deduire que K et H sont confondus, puis que H vérifie : OH = OA + OB + OC
Comme (AK) est la perpendiculaire à (BC) passant par A et (BK) la perpendiculaire à (AC) passant par B, (AK) et (BK) sont deux droites confondues avec les hauteurs du triangle ABC.
Or deux hauteurs d'un triangle se coupent à l'orthocentre de ce triangle.
K est donc confondu avec H l'orthocentre du triangle ABC.
Et comme : OK = OA + OB + OC
et que K et H sont confondus, on a aussi : OH = OA + OB + OC
11) Compléter la figure
Cf. fichier joint.
Partie D
12) Que peut-on conclure quant à la position de O,H et G ?
Comme on a : 3 OG = OA + OB + OC
et que OH = OA + OB + OC
les vecteurs OG et OH sont collinéaires.
Ces deux vecteurs ayant de plus le point O en commun, sont sur la même droite.
Donc O, H et G sont alignés dans cet ordre.
