Exercice 5 :
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1. Par définition, pour tout {A ; B} ≥ 0 on a :
A = √B ⇔ A² = √B² ⇔ A² = B
2. a) x - √(4x - 19) = 4 pour (4x - 19) ≥ 0, soit pour tout x ≥ 19/4
x - 4 = √(4x - 19)
(x - 4)² = 4x - 19
x² - 8x + 16 = 4x - 19
x² - 12x + 35 = 0
Or le discriminant de x² - 12x + 35 est (-12)² - 4(1)(35) = 144 - 140 = 4 = 2²
qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
— (12 - 2)/2(1) = 10/2 = 5
— (12 + 2)/2(1) = 14/2 = 7
Comme l'égalité initiale est possible pour tout x ≥ 19/4 = 4,75
on a bien deux solutions : x ∈ {5 ; 7}
b) √(2x + 3) - √(x + 2) = 2 pour {(2x + 3) ; (x + 2) ≥ 0
(√(2x + 3) - √(x + 2))² = 4 soit pour tout x ≥ -3/2
(2x + 3) - 2√(2x + 3)√(x + 2) + (x + 2) = 4
3x + 5 - 2√(2x² + 4x + 3x + 6) - 4 = 0
3x + 1 = 2√(2x² + 7x + 6)
9x² + 6x + 1 = 4(2x² + 7x + 6)
x² - 22x - 23 = 0
Or le discriminant de x² - 22x - 23 est (-22)² - 4(1)(-23) = 484 + 92 = 576 = 24²
qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
— (22 - 24)/2(1) = -2/2 = -1
— (22 + 24)/2(1) = 46/2 = 23
Comme l'égalité iniale est possible x ≥ -3/2,
on a une solution : x = 23.
c) x² - 6x + 9 = 4√(x² - 6x + 6) valable pour (x² - 6x + 6) ≥ 0
Prenons : X = x² - 6x + 6 valable pour tout X ≥ 0
alors X + 3 = 4√X
(X + 3)² = 16X
X² + 6X + 9 = 16X
X² - 10X + 9 = 0
Or le discriminant de X² - 10X + 9 est (-10)² - 4(1)(9) = 100 - 36 = 64 = 8²
qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
— (10 - 8)/2(1) = 2/2 = 1
— (10 + 8)2(1) = 18/2 = 9
Comme l'égalité initiale était valable pour tout X ≥ 0
on a deux solutions X ∈ {1 ; 9}
soit x² - 6x + 6 ∈ {1 ; 9}
Or x² - 6x + 6 = 1
si x² - 6x + 5 = 0
Dont les racines sont 1 et 5
Et x² - 6x + 6 = 9
si x² - 6x - 3 = 0
Dont les racines sont (3 - 2√3) et (3 + 2√3)
Il y a donc 4 solutions à l'égalité initiale : x ∈ {3 - 2√3 ; 1 ; 5 ; 3 + 2√3}