Sagot :
Un rectangle a un perimetre egal a 8m et un aire egal a 1 m²
On se propose de determiner les dimensions x et y de ce rectangle.
1) le périmètre du rectangle vaut : 2x+2y
l'aire du rectangle vaut xy
donc
{xy=1
{2x+2y=8
donc
{ xy=1
{ x+y=4
avec x>0 et y>0
2) Montrer que les valeurs possibles de x verifiant l'equation : 1/x=-x+4 avec x>0
on obtient
{ y=/x
{ x+y=4
donc x+1/x=4
donc 1/x=-x+4
3) a)Resoudre graphiquement cette equation.
1/x=-x+4
on lit x ≈ 0,267 ou x ≈ 3,732
b)En deduire une resolution approchee du probleme pose
les dimensions du rectangle sont
x=0,267
y=3,732
4)a) Developper (x-2)²-3
(x-2)²-3=x²-4x+4-3
=x²-4x+1
b) En deduire les valeurs exacte de x et de y.
donc 1=-x²+4x
donc x²-4x+1=0
donc (x-2)²-3=0
donc x-2=-√3 ou x-2=√3
x=2-√3 ou x=2+√3
or x+y=4donc x=2-√3 et y=2+√3
1) Comme l'aire d'un rectangle égale le produit de sa longueur (x) par sa largeur (y), on a :
xy = 1
Comme le périmètre d'un rectangle égale le double de la somme de sa longueur (x) et de sa largeur (y), on a :
2(x + y) = 8 soit x + y = 4.
Comme les dimensions d'un rectangle sont toujours positives et non nulles, on a x > 0 et y > 0.
Ce qui donne bien le système :
{ xy = 1 avec x > 0
{ x + y = 4 et y > 0
2) Cela donne :
{ y = 1/x
{ y = 4 - x
Et donc, par association : 1/x = 4 - x
3) a. On voit, une fois les graphiques tracés, que les deux solutions sont environ :
— x = 0,25 et y = 3,75
— x = 3,75 et y = 0,25
(avec une calculatrice, on a peut avoir une meilleure approximation)
b. Ce qui veut dire que la longueur est environ de 3,75 m et la largeur est environ de 0,25 m
4) a. (x - 2)² - 3 = x² - 4x + 4 - 3 = x² - 4x + 1
b. Or si l'on a : 1/x = 4 - x
on a aussi : x - 4 + 1/x = 0
soit : x(x - 4 + 1/x) = 0x
C'est-à-dire : x² - 4x + 1 = 0
Comme Δ = (-4)² - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 qui est supérieur à 0, les solutions de l'équation sont donc :
— (4 + √(12)) / (2) ≈ 3.732
— (4 − √(12)) / (2) ≈ 0.268
Comme ces deux valeurs de x sont supérieures à 0, elles satisfont toutes deux les conditions initiales.
On a donc deux solutions :
— x ≈ 3.732 et y ≈ 4 - 3.732 = 0,268
— x ≈ 0.268 et y ≈ 4 - 0.268 = 3,732
Il faut donc que :
— la largueur fasse sensiblement 0,268 m
soit exactement (4 - √12)/2 m = (2 - √3) m
— et la longueur fasse sensiblement 3,732 m
soit exactement (4 + √12)/2 m = (2 + √3) m
________________
Quand vous dites pour répondre, entendez-vous à un devoir ?
Si oui, il faut ouvrir un devoir qui n'a pas déjà deux réponses ou une réponse donnée depuis un certain temps, bref un devoir non résolu, et cliquer sur le bouton répondre qui se trouve sous le devoir.
