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On considère la fonction polynome P(x)= x^4 + x³ - 7x² -13x -6

 

a) Déterminer son degré puis alculer sa valeur pour x=1, x=-1 et x=0

b) Déterminer une fonction polynome Q(x) du 3ieme degré telle que :

P(x)=(x+1).Q(x)

 

c) Déterminer les racines de Q(x), factoriser si possible et donner une expression factorisée de P(x)

 

 

Alors la je vous avoue, je ne comprends rien a rien...

Merci beaucoup à celle ou celui qui sera me résoudre tout cela :)

Sagot :

On considère la fonction polynome P(x)= x^4 + x³ - 7x² -13x -6

 

a) Déterminer son degré puis alculer sa valeur pour x=1, x=-1 et x=0

deg(P)=max{n / ax^n ≠ 0}

donc deg(P)=4

 

P(1)=1^4+1^3-7*1^2-13*1-6=16

P(-1)=(-1)^4+(-1)^3-7*(-1)^2-13*(-1)-6=0 donc X+1 divise P

P(0)=0^4+0^3-7*0^2-13*0-6=-6

 

b) Déterminer une fonction polynome Q(x) du 3ieme degré telle que :

P(x)=(x+1).Q(x)

Q(x)=x^3+ax^2+bx+c

la valuation de Q vaut 1 car celle de P vaut aussi 1

 

alors x^4+x^3-7x^2-13x+6=(x+1)(ax^3+bx^2+cx+d)

on effectue une Division Euclidienne de P par X+1

 

X^4+X^3-7X^2-13X-6                            | X+1

X^4+X^3                                                  | X^3-7X-6

-----------                                                 

            0-7X^2-13X-6                           

              -7X^2-7X                                  

              ------------------                           

                          -6X-6

                          -6X-6

                          ---------

                                  0

 

ainsi Q=X^3-7X-6

ou encore pour tout x ∈ IR : Q(x)=x³-7x-6

 

c) Déterminer les racines de Q(x), factoriser si possible et donner une expression factorisée de P(x)

Une racine évidente de Q est -1 car Q(-1)=-1+7-6=0

donc X+1 divise Q

donc Q(x)=(x+1)R(x)

donc x^3-7x-6=(x+1)(x^2+ax+b)

on effectue une division Euclidienne de Q par X+1

X^3-7X-6                               | X+1

X^3+X^2                                | X^2-X-6

------------

       -X^2-7X-6

       -X^2-X

       -------------

               -6X-6

               -6X-6

               --------

                       0

donc Q=(X+1)(X^2-X-6)

ou encore pour tout x ∈ IR : Q(x)=(x+1)(x²-x-6)

ainsi Q(x)=(x+1)(x+2)(x-3)

 

les racines de Q sont donc : -1 ; -2 ; 3

 

par conséquent : on obtient :

P(x)=(x+1)*Q(x)

       =(x+1)(x+1)(x+2)(x-3)

 

donc pour tout x ∈ IR : P(x)=(x+1)²(x+2)(x-3)

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