Exercice 12 :
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1) Comme la hauteur du satellite par rapport au centre de la terre égale le rayon du globe terrestre additionné à l'altitude du satellite, sa valeur est de :
h(sat) = R(T) + h = 8,2 × 10⁵ m + 6,38 × 10⁶ m
= 7.20 × 10⁶ m
Puisque la force gravitationnelle exercée par la terre sur le satellite est le produit de la masse de la terre par celle du satellite et par G, divisé par le carré de leur distance
F(Ter/Sat) = (G × mT × mS) : d²
sa valeur est donc :
F(Ter/Sat) = (6,67 × 10⁻¹¹ N⋅m²⋅kg⁻² × 5,97 × 10²⁴ kg × 4,1 × 10³ kg) ÷ (7.20 × 10⁶ m)²
= 6,67 × 5,97 × 4,1 × 10¹⁶ N⋅m² ÷ (7.20 × 10⁶ m)²
= 163,26159 × 10¹⁶ N⋅m² ÷ (51,84 × 10¹² m²)
≈ 3,16 × 10⁴ N
2) La valeur de la force gravitationnelle exercée par le satellite sur la terre est la même que celle exercée par la terre sur le satellite, puisque la force gravitationnelle est une interaction entre les deux corps qui dépend de la masse des deux éléments (ce qui fait donc le même calcul) : autrement dit, le premier attire le second avec une force de même valeur que celle avec laquelle le second attire le premier.
3) Les caractéristiques de ces forces sont :
— comme point d'origine : leur centre de gravité respectif ;
— comme direction : une droite passant par ces deux centres de gravité ;
— comme sens : des sens opposés, chacun des corps étant attiré par l'autre ;
— comme valeur : la même valeur, comme nous venons de le voir.
On a ainsi : F(Sat/Ter) = -F(Ter/Sat) ⇔ F(Ter/Sat) = -F(Sat/Ter)
On peut donc les représenter ainsi :
Ter ⋅--->- - - - - - - - - - - -<---⋅Sat
F(Sat/Ter) F(Ter/Sat)
4) La longueur de la circonférence du cercle-trajectoire du satellite égale le produit de 2 π par la distance du satellite par rapport au centre de la terre, soit :
L(traj) = 2 π × h(sat) = 2 × π × 7.20 × 10⁶ m
= π × 14.40 × 10⁶ m
≈ 4,524 × 10⁷ m
La vitesse du satellite est donc, dans le référentiel géocentrique, le quotient de la longueur de sa trajectoire par sa période de révolution, soit :
V(sat) = L(traj) ÷ T(rev) = 4,524 × 10⁷ m : 6060 s
≈ 7,47 × 10³ m⋅s⁻¹
soit environ 7,5 km/s.
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N.B. : Ne pas oublier la flèche vectorielle sur F(Sat/Ter) et F(Ter/Sat)…