Il s'agit de démontrer par récurrence sur n la proposition suivante :
P(n) : " ∀ n ∈ IN : u(n) ≥ n "
Initialisation :
u(0)=0 donc u(0) ≥ 0 donc P(0) est vraie
Hérédité :
On suppose qu'il existe un rang n tel que P(n) soit vraie
donc u(n) ≥ n
on sait que u(n+1)=3*u(n)-2n+3
donc 3*u(n) ≥ 3n
donc 3*u(n)-2n ≥ 3n-2n
donc 3*u(n)-2n +3 ≥ 3n-2n+3
donc u(n+1) ≥ n+3 ≥ n+1
donc P(n+1) est vraie
Conclusion :
Pour tout entier n : u(n) ≥ n
