Bonsoir,
a)L'aire d'un carré est égale au carré du côté.
Le côté est donc égal à la racine carrée de l'aire (sachant qu'une longueur est toujours positive).
On pose donc :
[tex]AB = \sqrt{50} = \sqrt{2\times 25} = \sqrt 2 \times \sqrt{25} = 5\sqrt 2 \text{ cm}[/tex]
Le triangle ABC est rectangle et isocèle en B, donc :
[tex]AB = BC = 5\sqrt 2 \text{ cm}[/tex]
D'après le théorème de pythagore :
[tex]AC^2 = AB^2+BC^2 = 2\times \left(5\sqrt 2\right)^2 = 100\\ AC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}[/tex]
Le point H est le centre de SABCD ; par conséquent, il est le point d'intersection des diagonnales du carré ABCD. Les diagonnales d'un carré se coupent perpendiculairement en leur milieu, donc :
[tex]AH = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}[/tex]
On se place dans le plan (ASH). Le triangle AHS est rectangle en G, donc, d'après le théorème de Pythagore :
[tex]AS^2 = AH^2+SH^2\\ 13^2 = 5^2+HS^2\\ 169 = 25+SH^2\\ SH^2 = 169-25 = 144\\ SH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}[/tex]
On utilise la formule suivante pour calculer le volume de la pyramide
(h : hauteur ; a : aire de la base) :
[tex]V = \frac{a\times h}{3}[/tex]
On applique :
[tex]V = \frac{50\times 12}{3} = 200\text{ cm}^3[/tex]
