a) Dans le triangle ABC, si AC² = BC² + AB², alors selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle.
AC² = 10,6² = 112,36
BC² + AB² = 5,6² + 9² = 31,36 + 81 = 112,36
AC² = BC² + AB² donc selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
Donc (BC) ┴ (AB).
b) Si deux droites sont parralèles et qu'une des deux droites est perpendiculaire à une autre droite, alors la deuxième droite est également perpendiculaire à cette droite.
Comme (BC) ┴ (AB) et que (BC) // (AD) alors (AD) ┴ (AB)
c) E est un point du segment [AB] donc les triangles BCE et DEA sont rectangles (prouvé dans le a) et le b) par la perpendicularité des droites).
L'aire d'un triangle rectangle est (l x L) / 2 <= (l = largeur et L = longueur)
Donc l'aire du triangle BCE est (BC * BE) / 2 donc (BC * x) / 2 donc (5,6 * x) / 2 = (5,6x) / 2
= 2,8x
Donc l'aire du triangle DEA est (DA * EA) / 2 donc (DA * (AB-x) ) / 2 donc (2,8 * (9-x)) / 2
donc (25,2 - 2,8x) / 2 = 12,6 - 1,4x
d) Si les aires sont égales, cela revient à dire que :
12,6 - 1,4x = 2,8x
12,6 = 2,8x + 1,4x
12,6 = 4,2x
x = 12,6 / 4,2
x = 3
Le périmètre du triangle BCE si x = 3 est BC + BE + CE = 5,6 + 3 + CE
Le triangle BCE est rectangle donc d'après le théorème de Pythagore :
BC² + BE² = CE²
5,6² + 3² = CE²
CE² = 31,36 + 9 = 40,36
√CE² = CE = √40,36 ≈ 6,4 cm
Le périmètre du triangle BCE est donc égal à 5,6 + 3 + 6,4 = 15 cm.
Le périmètre du triangle DAE si x = 3 est DA + AE + DE = 2,8 + (9 - 3) + DE = 2,8 + 6 + DE.
Le triangle DAE est rectangle donc d'après le théorème de Pythagore :
DE² = 2,8² + 6²
DE² = 7,84 + 36 = 43,84
√DE² = DE = √43,84 ≈ 6,6 cm
Le périmètre du triangle DAE est donc égal à 2,8 + 6 + 6,6 = 15,4 cm.
Les périmètres des deux triangles ne sont donc pas égaux.
