a) Je dérive f(x)
f(x)=2x³-60x²+450x
f'(x)=6x²-120x+450
Δ=b²-4ac
Δ=(-120)²-4*6*450
Δ=3600
Or, Δ>0 donc la fonction admet deux racines distinctes x1 et x2
x1=(-b+√Δ)/(2a) x2=(-b-√Δ)/(2a)
x1=(120+60)/(2*6) x2=(120-60)/(2*6)
x1=15 x2=5
Donc f'(x) s'annule en x=5 et x=15 et, de plus, on sait qu'un polynome du second degré est du signe de a (ici a=6) en dehors des racines donc ici f'(x) est positive sur [0 ; 5], négative sur [5 ; 15] puis sur [15 ; 20]. On sait que si la fonction dérivée est positive, la fonction est crissante et si la fonction est négative, la fonction est décroissante. Donc f(x) est croissante sur [0 ; 5], décroissante sur [5 ; 15] et croissante sur [15 ; 20].
Je dresse le tableau de variations de f(x)
x 0 5 15 20
f'(x) + Ф - Ф +
f(x) 0 croissante 1000 décroissante 0 croissante 1000
b) Je sais que l'équation d'une tangente au point d'abscisse a est y=f'(a)(x-a)+f(a)
Donc comme a=0 alors y=f'(0)(x-0)+f(0)
De plus, f'(0)=450 et f(0)=0
y=450(x-0)+0
y=450x
c) Je résous l'équation f(x)=0, soit 2x³-60x²+450x=0
: 2x³-60x²+450x=0
: x(2x²-60x+450)=0
: 2x²-60x+450=0
Δ=(-60)²-4*2*450
Δ=3600-3600=0
Or, Δ=0 donc l'équation admet une unique solution x=(-b)/(2a)
x=60/(2*2)
x=15
L'équation f(x)=0 admet une unique solution pour x=15
Les coordonnées sont donc [15 ; 0]
d) Fichier en pièce jointe
