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Sagot :
Un circuit électrique contenant une résistance R de 10Ω est traversé par un courant d’intensité : i(t)=15√2 x sin (100π t) . La puissance dans le circuit est P(t)=Ri² (t) = 4500 x sin²(100π t ). On admettra que la période de la fonction P est 0,01.
1) Calculer la fonction dérivée de la fonction u sachant que u(t)=sin (100π t)
u'(t)=100 π*cos(100πt)
2) Calculer la fonction dérivée de la fonction P
P'(t)=2*4500*100π*cos(100πt)
=900 000 π*cos(100πt)*sin(100πt)
3) Donner les valeurs de t qui annulent la dérivée dans l’intervalle[0 ;0,01]
P'(t)=0 donc cos(100πt)*sin(100πt)=0
donc sin(200πt)=0
donc 200πt=0+2kπ
donc t=1/200 + k/100où k entier
donc t=0 ou t=0,005 ou t=0,01
4) Donner le signe de P’ (t) sur l’ intervalle [0 ;0,01]
sin(t) ≥ 0 pour t ∈ [0;π]
sin(t) ≤ 0 pour t ∈ [π;2π]
donc sin(200πt) ≥ 0 pour t ∈ [0;0,005]
et sin(200πt) ≤ 0 pour t ∈ [0,005;0,01]
ainsi P est croissante sur [0;0,005] et décroissante sur [0,005;0,01]
donc P atteint son maximum en t=1/200 s et P(1/200)=4500 W
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